Методическое обеспечение внеурочной деятельности для учащихся 11 классов по решению некорректных математических задач.

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность исследования:
Актуальность исследования. Одной из задач школьного математического образования является формирование у школьников умений решать математические задачи. Среди математических задач встречаются так называемые некорректные задачи. Подобные математические задачи являются нетипичными для школьных математических задач, не входят в содержание школьной математики и не рассматриваются на уроках математики ввиду ограниченности выделяемых учебным планом часов. Вместе с тем, исследование некорректных математических задач и поиск их решения формируют новые математические знания и развивают творческие математические способности школьников. Познакомить школьников с основами теории некорректных задач возможно во внеурочной деятельности в форме реализации элективного курса.
Внеурочная работа по математике обладает большим дидактическим потенциалом для решения воспитательных задач. Внеурочная деятельность по математике позволяет развить у учащихся интерес к математике, углубить их знания по математике, развивать их творческие способности. Освоение методами решения некорректных математических задач вносит существенный вклад в развитие фундаментальных знаний школьников.
Обучить методам решения некорректных задач учащихся старших классов на основных занятиях не представляется возможным ввиду ограниченного времени. Но это обучение возможно реализовать на внеурочных занятиях.
Учитывая вышеизложенное, можно выделить противоречие между целесообразностью обучения учащихся старших классов методам решения некорректных задач и недостаточной разработанностью методики обучения учащихся старших классов методам решения некорректных задач на внеурочных занятиях, способствующих развитию фундаментальных математических знаний, с другой стороны.
Необходимость устранения указанного противоречия за счет разработки методических аспектов обучения учащихся старшей школы решению некорректных задач для систем линейных алгебраических уравнений на внеурочных занятиях свидетельствует об актуальности темы, выбранной для исследования.
Указанные доводы и противоречие определяют научную проблему настоящей выпускной квалификационной работы, заключающуюся в необходимости разработки методических аспектов обучения учащихся старшей школы решению некорректных задач для систем линейных алгебраических уравнений на внеурочных занятиях.
Цель исследования – совершенствование методики обучения старшеклассников основам решения некорректных математических задач на примере решения систем линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленными матрицами во внеурочной деятельности.
Объект исследования — процесс обучения математике учащихся старшей школы.
Предмет исследования — обучение методам решения некорректных задач для систем линейных алгебраических уравнений учащихся старших классов на внеурочных занятиях.
Гипотеза исследования заключается в том, что обучение на внеурочных занятиях учащихся старших классов методам решения систем линейных алгебраических уравнений, на основе разработанной методики позволит развить у школьников фундаментальные математические знания.
Задачи исследования:
1. Проанализировать психолого-педагогические особенности обучения учащихся старшей школы
2. Выявить роль внеурочных занятий по математики в старшей школе в развитии их творческих способностей
3. Проанализировать понятие «некорректная задача» в школьном курсе математики
4. Сформулировать цели и задачи обучения учащихся старшей школы решению некорректных задач для систем линейных алгебраических уравнений на внеурочных занятиях
5. Сформировать содержание обучения решению некорректных задач для систем линейных алгебраических уравнений учащихся старшей школы на внеурочных занятиях
6. Разработать методические рекомендации для проведения внеурочных занятий для учащихся старшей школы по решению некорректных задач для систем линейных алгебраических уравнений
Научная новизна и теоретическая значимость исследования.
Определены цели и разработано содержание обучения учащихся старших классов методам решения систем линейных алгебраических уравнений.
Практическая значимость. Разработана система учебных некорректных задач для системы линейных алгебраических уравнений.
Структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Во введении обосновывается актуальность проблемы исследования, сформулирована цель исследования, объект исследования, предмет исследования, гипотеза исследования, приведены задачи исследования, сформулированы научная новизна и теоретическая значимость исследования, практическая значимость исследования. краткое содержание выпускной квалификационной работы.
Можно выделить противоречие между необходимостью обучения старшеклассников основам теории некорректных задач на примере поиска решений СЛАУ с плохо обусловленными матрицами, использования внеурочных занятий для формирования представлений о некорректных математических задачах с одной стороны, и недостаточной разработанностью методики обучения старшеклассников основам некорректных математических задач во внеурочной деятельности, способствующей освоению ими новых математических знаний и развитию их творческих математических способностей, с другой стороны. Необходимость устранения указанного противоречия за счет разработки методических рекомендаций свидетельствует об актуальности темы, выбранной для исследования.
Методы исследования:
1. изучение и анализ научных трудов по методике обучения математике старших классов, педагогике, информатизации образования;
2. изучение и анализ научной и учебно-методической литературы по теме выпускной квалификационной работы;
3. анализ учебных программ и пособий, беседа; наблюдение;
4. рассмотрение проблемы на основе системного анализа;
5. использование методов научного познания (методы эмпирического и теоретического исследования, общие методы абстрагирования, анализа, синтеза, моделирования и т. д.), логического мышления;
6. краткая оценка современного состояния решаемой проблемы или задачи.

























ГЛАВА I. Теоретические аспекты организации внеурочных занятий для учащихся старшей школы по решению некорректных задач
1.1. Психолого-педагогические особенности обучения учащихся старшей школы

Трудно представить современного человека, не владеющего хотя бы базовыми навыками общения на иностранном языке. Способность применять язык на практике является ключевым критерием оценки качеств выпускника [12].
Возраст старшеклассников, 16-17 лет, соответствует юношескому периоду жизни, который характеризуется целым рядом психологических особенностей. В это время заметно изменяется отношение к учебе и к определенным дисциплинам. Если в 9-м классе интерес к изучению иностранных языков падает, то старшеклассники, напротив, становятся более ответственными [7].
Основной целью обучения в этом возрасте является формирование психологической готовности к профессиональному и личностному самоопределению, включая системное мировоззрение, ценностные ориентации, профессиональную направленность, освоение методов научного познания и навыков самовоспитания. В этот период расширяются горизонты познания реального мира, а также происходит осознание самого себя и окружающих, установление жизненных целей и поиск своего места в обществе. Старшая школа становится завершающим этапом формирования структуры самосознания, жизненных планов и ценностных ориентиров.
Интеллектуальное развитие старшеклассников проходит качественные изменения; в них сочетаются подростковые черты и признаки активного взросления. Вырабатываются определенные принципы поведения и системы ценностей, что влияет на избирательное отношение к изучаемым дисциплинам.
Юноши и девушки в этом возрасте стремятся к самостоятельности, ориентированы на будущее и переосмысливают настоящее. Особую роль играют интерес к общественным проблемам, практическая деятельность, творчество и спорт. Разнообразие интересов и развитие профориентации способствуют индивидуализации обучения. Повышение чувства ответственности открывает перспективы для самостоятельной учебной деятельности и стимулирует потребность в самообразовании.
Педагоги, такие как Л.И. Божович и Я.А. Коменский, подчеркивают повышение интеллектуальных возможностей в это время. Старшеклассники становятся более умелыми в абстрагировании, обобщении и убедительном аргументировании своей точки зрения, что помогает глубже понимать причинно-следственные связи, делать выводы и развивать систему знаний.
Стремление к самоанализу и самокритике также характерно для этого возраста, способствуя более эффективному заполнению пробелов в знаниях. Индивидуальные, парные и групповые формы работы, где учитель выступает в роли партнера или режиссера, остаются актуальными [11].
Таким образом, при обучении математики старшеклассников, учителю стоит стать их единомышленником и партнером. Важно опираться на их сознательность, самостоятельность и профессиональные интересы, всесторонне развивая их личность. Увлеченный ученик стремится к углублению знаний и их творческому применению, формируя стойкий интерес к учению. Обучение такого ученика строится не ради похвалы, а ради самосовершенствования.
Чешский педагог Я.А. Коменский писал: «Начав любое занятие, нужно прежде всего пробудить у учеников глубокую любовь к нему, подчеркнув его превосходство, пользу и приятность». К.Д. Ушинский также утверждал, что отсутствие интереса убивает желание к учению.
К.Б. Есипович подчеркивает, что успех занятия зависит от способности учителя пробудить интерес к дисциплине. Чем глубже интерес к знаниям, тем больше стремление к самообразованию. Учителю следует не только передавать опыт и навыки, но и укреплять веру в возможности учеников, раскрывая их творческий потенциал и побуждая к дальнейшему развитию, воспитывая силу воли и целеустремленность в выполнении сложных задач.
В заключение следует отметить несколько характерных черт старшеклассников, оказывающих воздействие на структуру образовательного процесса:
 старшие школьники стремятся к независимости в каждом элементе учебной активности;
 демонстрируют высокую активность в обучении;
 способны проявлять себя творчески и находить оригинальные подходы к решению учебных вопросов;
 понимают нужду в определенных знаниях и навыках для будущих академических целей, осознавая, что обучение имеет важное значение в их жизни.

1.2. Анализ понятия «некорректная задача» в школьном курсе математики

Активно развивающаяся современная наука о некорректных задачах занимает всё более важное место в исследовательской сфере. Подавляющее большинство практических задач характеризуются неопределённостью, переопределённостью или внутренними противоречиями. Однако существующая система математического образования практически обходит стороной такие задачи, несмотря на их актуальность. Очевидно, что невозможно освоить методы решения некорректных задач, если изучать только корректные.
Разработка и обоснование математических подходов к решению некорректных задач являются серьезной научной проблемой с высокой практической значимостью. Обработка измерений, распознавание образов, задачи линейного программирования и управления, а также обратные краевые задачи, приближённое дифференцирование, решение сложных систем линейных уравнений и аналитическое продолжение функций — вот лишь часть направлений, где теория корректных и некорректных задач выступает основным инструментом исследования.
Несмотря на высокий спрос на разработку теории корректных и некорректных задач, методические аспекты остаются недостаточно изученными. Исследования в этой области опираются на теорию учебных задач, включая работы Пойа-Колягина-Крупича, и касаются задач с неполной, избыточной или противоречивой информацией. Тем не менее, теория корректных и некорректных задач обладает чёткими математическими концепциями и широко применяется в науке и практике; её методологический потенциал должен быть реализован в образовательных программах для студентов и школьников.
Определения корректных и некорректных задач, предложенные А. Н. Тихоновым, составляют основу этой теории. Математическая задача предполагает поиск решения z на основе данных u, связанных зависимостью z = R(u). Задача считается корректной, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) наличие решения для любых допустимых u (существование); 2) каждый набор u приводит к единственному z (единственность); 3) решение обладает устойчивостью.
Первое условие исключает противоречия в исходных данных, которые могли бы препятствовать решению задачи. Второе свидетельствует о достаточной информации для однозначного решения. Эти два условия описывают математическую определённость задачи.
Третье условие состоит в следующем: если и1 и и2 представляют собой два разных набора исходных данных с незначительным отклонением друг от друга, то отклонение их решений z1 = R(u1) и z2 = R(u2) будет менее любого заданного уровня точности. Предполагается, что в пространстве допустимых исходных данных и и в пространстве возможных решений Z определена мера уклонения ри(и1,и2) и р(z1,z2). Это условие отражает физическую определенность задачи, так как исходные данные физической задачи обычно имеют некоторую погрешность. Если данное условие не выполняется, даже минимальные возмущения исходных данных могут вызвать существенные изменения в решении.
Задачи, не соответствующие хотя бы одному из условий корректности, называются некорректно поставленными. Понятие «корректно поставленная задача» было введено Ж. Адамаром и А.Н. Тихоновым и относится ко многим математическим проблемам. В данной статье осуществляется анализ этого определения, обсуждаются его различные аспекты и обосновывается его универсальность, простота и четкость применения. Исследование корректности задачи по методике Адамара-Тихонова предполагает всесторонний анализ всех составляющих элементов задачи.
Согласно толковому словарю, «корректность» происходит от латинского correctus — исправленный, улучшенный; включает в себя точность и четкость, например, в доказательствах или переводах. С этой точки зрения корректная задача может быть интерпретирована как правильная, а некорректная — как неправильная. Это объясняет, почему некорректные задачи традиционно воспринимаются как лишенные решения или противоречивые, что часто приводит к мнению об их нерешаемости.
В методологии термины «корректная задача» и «корректно поставленная задача» употребляются в контексте теории задач, подразумевая, что задача имеет решения и не содержит противоречий. При этом строгое определение часто не дается и смысл выясняется из контекста. Некорректная задача часто содержит противоречия или недостаточность данных. Корректность постановки задачи означает однозначную и полную разрешимость и отсутствие противоречий в условиях.
Д. Пойа указывает, что правильно поставленная задача должна включать все необходимые данные, без избыточности, а ее условия должны быть ясными и непротиворечивыми, что играет роль и в анализе устойчивости решений.
А. Ф. Эсаулов считает, что человек, привыкший к четко сформулированным задачам, затрудняется в незнакомых ситуациях, будь то математическая или прикладная задача, возникшая в практическом контексте.
С позиции однозначной определенности множества решений, если решений нет, то задача все равно корректна, так как это единственно возможное состояние. Задачи с более чем одним решением также считаются корректными, поскольку их решения однозначно определены. Некорректными считаются лишь задачи без четко сформулированных компонентов, как в классификации Ю.М. Колягина, где задачи относятся к типу (ХУ2Т) с неопределенными четырьмя компонентами.
Близки к этой точке зрения исследования В.А. Крутецкого и М.П. Буловацкого, которые рассматривают задачи с неполными или противоречивыми данными.
В данном обзоре вопрос корректности задачи рассматривается с двух позиций:
Анализ исходных данных: Оценивается их полнота, отсутствие противоречий и независимость.
Решаемость задачи: Определяется наличие или отсутствие решения, а