Таблицы Юнга и их применение в теории групп

Введение
Актуальность проблемы исследования связана с тем, что современные точные и
естественные науки требуют постоянного совершенствования, что является следствием
открытия новых явлений и закономерностей.
Для того, чтобы любая наука совершенствовалась, необходимо непрерывное развитие ее
инструментария и методологии, ведь именно за счет упрощения решения научных задач
часто многие исследования проводятся гораздо быстрее, что позволяет уже в скором
времени применять их результаты в практической деятельности.
Таблицы и диаграммы Юнга, несмотря на свою относительную сложность, являются
очень распространенным инструментом решения различных прикладных задач, в том
числе и для проведения исследований в области изучения теории групп.
Степень разработанности темы исследования. В ходе проведения дипломного
исследования было выяснено, что наблюдается выраженный недостаток научных трудов,
которые посвящены таблицам Юнга и их применению в теории групп. Было выделено
всего несколько авторов, на основе трудов которых можно провести научную работу в
данной сфере, но полученные данные можно назвать неполными, что подтверждает
актуальность и неразработанность данной темы.
Глава 1. Теоретические аспекты исследования таблиц Юнга как варианта диаграмм
1.1. История создания и сущность диаграмм Юнга
В 1900 году один из ученых Кембриджского университета в сфере математических наук
Альфред Юнг предложил специфический тип представлений симметрических и полных
линейных групп, который необходим для более эффективного изучения их свойств.
Тремя годами позднее ученый Георг Фробениус стал использовать этот тип
представлений для того, чтобы изучать симметрические группы .
2
Впоследствии этот математический феномен упрочил свое место в научной сфере как
диаграммы Юнга и стал очень популярным для проведения математических исследований
и научной работы в других областях точных и даже естественных наук.
Многие математики XX и уже XXI столетия использовали диаграммы Юнга в своих
теоретических и прикладных исследованиях .
Так, под термином «диаграмма Юнга», которая в случае использования точек вместо
ячеек носит им Ферре, в математической науке понимается определенный конечный
набор ячеек или клеток, которые выровнены по левой границе. В данном наборе длины
строк образуют невозрастающую последовательность, что означает то обстоятельство, что
каждая строка имеет либо равную длину с предыдущей, либо является более короткой .
1.2. Виды диаграмм Юнга
Диаграммы Юнга находят многочисленные применения в комбинаторике, теории
представлений и алгебраической геометрии. Были исследованы различные способы
подсчета числа диаграмм, которые привели к определению и формулам для многочленов
Шура .
Известно множество алгоритмов, выполняемых непосредственно на диаграммах, такие
как jeu de taquin («игра в пятнашки») Шютценбергера и соответствие Робинсона –
Шенстеда – Кнута.
Ласку и Шютценбергер изучили ассоциативное произведение на множестве
полустандартных диаграмм Юнга, приводящее в итоге к структуре, известной как
плактический моноид .
В теории представлений, стандартные таблицы Юнга размера k описывают базисы
неприводимых представлений симметрической группы Sk.
Стандартный мономиальный базис в конечномерном неприводимом представлении
полной линейной группы GLn параметризуется множеством полустандартных таблиц
Юнга фиксированной формы над алфавитом {1, 2, …, n} .
Глава 2. Применение таблиц Юнга в изучении теории групп
2.1. Понятие и виды таблиц Юнга
Таблицы Юнга представляют собой широко известный (в узких кругах) тип объектов,
изучаемых в комбинаторике и смежных науках.
Таблицы Юнга очень близки к пирамидам, и именно так они называются в трудах ряда
исследователей .
Некоторые исследователи называют таблицу Юнга частично упорядоченной почти
заполненной числовой матрицей. Частичное упорядочение означает, что каждый элемент
такой матрицы не превышает значений своих верхних и левых «соседей» (при условии,
что эти элементы имеют таких «соседей») .
В данном случае термин «почти заполненная» означает следующее: первые j строк
матрицы (от нуля до (j-1)-го) полностью заполнены в таблице, первые l элементов
заполнены в j-й строке, все остальные строки остаются пустыми.
Согласно определению, строки и столбцы таблицы Юнга располагаются в порядке
убывания. В частности, самый большой элемент таблицы находится в ее верхнем левом
углу. Однако расположение всех остальных элементов определено неясно .
Таким образом, таблицу Юнга можно рассматривать как матричный (табличный) аналог
частично упорядоченных почти заполненных элементов, известных в мире как пирамиды.
2.2. Сущность теории групп
Теория групп – это раздел общей алгебры, который изучает алгебраические структуры,
называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей
3
алгебре, поскольку многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля,
векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом.
Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают
сильное влияние на многие разделы алгебры .
В процессе разработки теории групп был создан мощный инструментарий, который во
многом определил специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный
глоссарий, элементы которого активно заимствованы смежными разделами математики и
прикладных математических наук. Наиболее развитые разделы теории групп – линейные
алгебраические группы и группы Ли – стали самостоятельными разделами математики.
Различные физические системы, такие как кристаллы или атом водорода, имеют
симметрии, которые могут моделироваться группами симметрии, таким образом, находя
важные приложения теории групп и тесно связанной теории понятий в физике и химии .
Одним из наиболее значительных математических достижений XX столетия стала полная
классификация простых конечных групп – результат совместных усилий многих
математиков, занимающих более 10 000 печатных страниц, основная часть которых была
опубликована с 1960 по 1980 год.
2.3. Практическое применение таблиц Юнга в теории групп
Как уже было сказано ранее, таблицы Юнга применяются для решения множества
прикладных задач, в том числе и для проведения математических исследований в сфере
изучения теории групп.
В теории групп применяется формула крюков, которая непосредственно связана с
таблицами Юнга.
Размерность неприводимого представления, которое отвечает разбиению числа
симметрической группы всегда равно числу различных стандартных таблиц Юнга,
которые соответствуют диаграмме разбиения .
Данное значение обычно подсчитывается согласно данным таблицы Юнга.
Под термином «длина крюка клетки», который используется для диаграммы формы в
научной литературе, понимается сумма количества клеток в той же строке правее,
количества клеток в том же столбце ниже. К данному значению прибавляется единица,
которая обозначает, собственно, саму клетку .
Согласно алгоритму, заложенному в формуле крюков, размерность неприводимого
представления всегда равна поделенному на произведение длин всех крюков диаграммы .
Заключение
Дипломная работа на тему: «Таблицы Юнга и их применение в теории групп» состоит из
введения, двух глав, заключения, а также списка источников и литературы.
В ходе проведенной работы были сделаны следующие последовательные теоретические и
практические выводы, соответствующие цели и задачам, поставленным в начале
исследования.
Под термином «диаграмма Юнга», которая в случае использования точек вместо ячеек
носит им Ферре, в математической науке понимается определенный конечный набор
ячеек или клеток, которые выровнены по левой границе.
В данном наборе длины строк образуют невозрастающую последовательность, что
означает то обстоятельство, что каждая строка имеет либо равную длину с предыдущей,
либо является более короткой
В 1993 году Керов показал, что отклонения диаграмм от предельной формы
удовлетворяют центральной предельной теореме. В 2000 году Бородин, Окуньков и
Ольшанский нашли локальное предельное распределение границ «типичных» больших
диаграмм Юнга.