Контрольная работа по макроэкономике на тему Модель Хольта-Уинтерса

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчётных значений Y(t) I квартала первого года, равное Y(1)/Yр(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) Y(5)/Yр(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.
F(-3)=[Y(1)/Yр(1)+Y(5)/Yр(5)]/2=[33/38,41+36/41,65]/2=[0,86+0,86]/2=0,86
Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:
F(-2)=[Y(2)/Yр(2)+Y(6)/Yр(6)]/2=[42/39,22+46/42,46]/2=[1,07+1,08]/2=1,08
F(-1)=[Y(3)/Yр(3)+Y(7)/Yр(7)]/2=[50/40,03+56/43,27]/2=[1,25+1,29]/2=1,27
F(0)=[Y(4)/Yр(4)+Y(8)/Yр(8)]/2=[33/40,84+34/44,08]/2=[0,81+0,77]/2=0,79
Оценив значения a0, b0, а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса.
Путём перебора возможных значений параметров сглаживания было установлено, что лучшими являются α1=0,3; α2=0,6; α3=0,3.
Рассчитаем значения Yр(t), a(t), b(t) и F(t) для t=0, k=1. Имеем:

При моменте времени t=1 имеем:
a(1)=α1Y(1)/F(-3)+(1-α1)[a0+b0]=0,3×33/0,86+(1-0,3)[37,6+0,81]=38,39
b(1)=α3[a(1)-a(0)]+(1-α3)×b0=0,3[38,39-37,6]+(1-0,3)×0,81=0,81
F(1)=α2Y(1)/a(1)+(1-α2)×F(-3)=0,6×33/38,39+(1-0,6)×0,86=0,86
Для t=1, k=1 имеем:

Для момента времени t=2 имеем:
a(2)=α1Y(2)/F(-2)+(1-α1)[a(1)+b(1)]=0,3×42/1,08+(1-0,3)×[38,39+0,81]=39,11
b(2)=α3[a(2)-a(1)]+(1-α3)×b(1)=0,3[39,11-38,39]+(1-0,3)×0,81=0,78
F(2)=α2Y(2)/a(2)+(1-α2)×F(-2)=0,6×42/39,11+(1-0,6)×1,08=1,07
Для t=2, k=1 имеем:

Для момента времени t=3 имеем:
a(3)=α1Y(3)/F(-1)+(1-α1)×[a(2)+b(2)]=0,3×50/1,27+(1-0,3)×[39,11+0,78]=39,72
b(3)=α3[a(3)-a(2)]+(1-α3)×b(2)=0,3×[39,72-39,11]+(1-0,3)×0,78=0,73
F(3)=α2Y(3)/a(3)+(1-α2)×F(-1)=0,6×50/39,72+(1-0,6)×1,27=1,27
Для t=3, k=1 имеем:

Для момента времени t=4 имеем:
a(4)=α1Y(4)/F(0)+(1-α1)[a(3)+b(3)]=0,3×33/0,79+(1-0,3) ×[39,72+0,73]=40,85
b(4)=α3[a(4)-a(3)]+(1-α3)×b(3)=0,3×[40,85-39,72]+(1-0,3) ×0,73=0,85
F(4)=α2Y(4)/a(4)+(1-α2)×F(0)=0,6×33/40,85+(1-0,6) ×0,79=0,80
Для t=4, k=1 имеем:

Для момента времени t=5 имеем:
a(5)=α1Y(5)/F(1)+(1-α1)[a(4)+b(4)]=0,3×36/0,86+(1-0,3) ×[40,85+0,85]=41,75
b(5)=α3[a(5)-a(4)]+(1-α3)×b(4)=0,3×[41,75-40,85]+(1-0,3) ×0,85=0,87
F(5)=α2Y(5)/a(5)+(1-α2)×F(1)=0,6×36/41,75+(1-0,6) ×0,86=0,864
Для t=5, k=1 имеем:
Yр(6)=[a(5)+1×b(5)]×F(2)=
Для момента времени t=6 имеем:
a(6)=α1Y(6)/F(2)+(1-α1)[a(5)+b(5)]=0,3×46/1,07+(1-0,3) ×[41,75+0,87]=42,73
b(6)=α3[a(6)-a(5)]+(1-α3)×b(5)=0,3×[42,73-41,75]+(1-0,3) ×0,87=0,90
F(6)=α2Y(6)/a(6)+(1-α2)×F(2)=0,6×46/42,73+(1-0,6) ×1,07=1,08
Для t=6 имеем:
Yр(7)=[a(6)+1×b(6)]×F(3)=