Контрольная работа по Механика на тему законы сохранения

Для того, чтобы сформулировать и понять, в чем же заключается второй важнейший закон сохранения в механике – закон сохранения импульса – снова рассмотрим систему, в которой находится N материальных точек (частиц). Силу, с которой одна частица (k) действует на другую частицу (i), обозначим как Fik . Будем иметь в виду, что первый индекс – это частица, на которую воздействует сила, а второй – частица, которая воздействует. Суммарное воздействие всех внешних сил, которые воздействуют на i-ю частицу, обозначим как Fi .
Тогда уравнения движения всех частиц N, находящихся в системе будут иметь вид:
=F12 + F13 + ... + F1k + ... + F1N + F1= ,
=F21 + F23 + ... + F2k + ... + F2N + F2= ,
=Fi1 + Fi2 + ... + Fik + ... + FiN + Fi = ,
=FN1 + FN2 + ... + FNK + ... +FN,N-1 + FN = ,
где р – это импульс.
При складывании всех уравнений слева получим производную по времени от общего импульса системы:

(19)

В правой части уравнения только сумма внешних сил Fi будет отлична от нуля. Т.к. сумма внутренних сил может быть представлена в следующем виде:
(F12+F21) + (F13 + F31) + ... + (Fik + Fki) + ... + (FN-1,N + FN,N-1)

Т.к. каждая скобка равна нулю (согласно третьему закону Ньютона), то сумма внутренних сил, которая действует на тела, находящиеся в системе, тоже всегда будет равна нулю:

(20)
Объединив выражения (19) и (20), получим:
(21)

Отсюда видно, что производна от суммарного импульса по времени равна сумме внешних сил, которые действуют на тела этой системы.
Если же мы имеем замкнутую систему, то есть систему, к которой отсутствуют внешние силы, то правая часть уравнения (21) будет равна нулю. А, значит, производная от импульса по времени dp/dt, тоже будет равна 0, а сам импульс p=const.
Из чего делаем вывод, что в замкнутой системе суммарный импульс – величина постоянная. Это и есть закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса подразумевает однородность пространства, т.е. свойства пространства одинаковы во всех его точках. При параллельном переносе системы из одного места в другое, при сохранении взаиморасположения и скоростей ее частиц, механические свойства данной системы не меняются.
Следует отметить, что импульс также будет постоянным и в незамкнутых системах при условии, что суммарное значение всех внешних сил – ноль.
Если все векторы из уравнения (21) спроектировать на некоторое направление (х), то получим

(22)
; (23)
Отсюда видно, что проекция вектора р на ось х равна производной dpx/dt.
Согласно уравнению (22), если проекция на направление х суммы внешних сил будет равна нулю, то проекция суммарного импульса на это направление будет сохраняться, при это она может быть отлична от нуля. [6,3]










4 Закон сохранения момента импульса

Момент импульса частицы (материальной точки) относительно точки О – это векторная величина, которую можно выразить как:

(24)

где r – это радиус-вектор, который определяет положение материальной точки относительно точки О, а p=mV – импульс частицы. Модуль этой величины, который равен rpsin, может быть представлен как произведение плеча импульса l на модуль вектора p, тогда получаем:

L= l p (25)

Плечо импульса l – это длина перпендикуляра, который опущен из точки О на прямую, вдоль которой импульс частицы направлен.
У частицы существует момент импульса, вне зависимости от траектории ее движения. Рассмотрим два примера.
1. Частица движется прямолинейно (рис.1). Модуль момента импульса L=mVl (26) может быть изменен только в связи с изменением модуля скорости.