Контрольная работа по экономической статистике на тему Контрольная работа по теме Теория игр (вариант 3)

Первый вариант комплектования банка:
Игроки отдают в банк столько, сколько загадали, то есть 1→4, тогда тот, кто выиграет, получит свою долю + вложение соперника, а проигравший будет в минусе.
Второй вариант комплектования банка (со спонсором):
Спонсор задает банк игры, вкладывая сумму Х и участники, без вложений, участвуют в игре (можно рассмотреть также случай с вложениями участников).
Третий вариант комплектования банка:
Можно рассмотреть с точки зрения добавочного варианта, то есть если первый игрок вложит 2, а второй игрок вложит 3, то выигрыш второго игрока составит + 2 ⇒ получение вложения соперника.
(третий)
В1 = 1 В2 = 2 В3 = 3 В4 = 4
А1 = 1 0; 0 -1; 1 -1; 1 -1; 1
А2 = 2 1; -1 0; 0 -2; 2 -2; 2
А3 = 3 1; -1 2; -2 0; 0 -3; 3
А4 = 4 1; -1 2; -2 3; -3 0; 0

Игрок 1
В чистых стратегиях игрок 1 будет выбирать тоже число, что и соперник
min
max 0 -1 -1 -1 -1
1 0 -2 -2 -2
1 2 0 -3 -3
1 2 3 0 0
1 2 3 0

2 игрок
min
max 0 1 1 1 0
-1 0 2 2 -1
-1 -2 0 3 -2
-1 -2 -3 0 -3
0 1 2 3

⇒ 2 игрок тоже в чистых стратегиях выбирает то же число, что и соперник
А1В1 = 1
А2В2 = 2
А3В2 = 3
А4В4 = 4

№ 2
б) чистые стратегии – здесь надо найти нижнюю и верхнюю цены игры и сделать вывод о наличии или отсутствии решения в чистых стратегиях - решение приведено ниже
В1 В2 В3 В4
А1 1 2 2 5
А2 4 9 9 3
А3 6 7 2 3
А4 1 2 3 4

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.
Игроки B1 B2 B3 B4 a = min(Ai)
A1 1 2 2 5 1
A2 4 9 9 3 3
A3 6 7 2 3 2
A4 1 2 3 4 1
b = max(Bi) 6 9 9 5
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 3, которая указывает на максимальную чистую стратегию A2.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 5.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 3 ≤ y ≤ 5.


№ 3.1
А1 – предприятие А выбирает технологию №1
А2 – предприятие А выбирает технологию №2
А3 – предприятие А выбирает технологию №3
А4 – предприятие А выбирает технологию №5
В1 – предприятие В выбирает технологию №1
В2 – предприятие В выбирает технологию №2
В3 – предприятие В выбирает технологию №3
В4 – предприятие В выбирает технологию №4
В5 – предприятие В выбирает технологию №5
Элементы платежной матрицы прибыли А и В
Прибыль = доход – издержки
yd = 8 – 0,3x
Найдем а11 (А1 и В1 стратегии ⇒ оба предприятия реализуют 10 единиц продукции)
х=(10+10)/2=10
⇒у=8-0,3*10=8-3=5
У предприятия А купят 31% ⇒ 5 000 * 0,31 = 1 550
У предприятия В купят 69% ⇒ 5 000 * 0,69 = 3 450
Прибыль А = 1 550 * (10 – 5) = 7 750
Прибыль В = 3 450 * (10 – 8) = 6 900
а11 = 7 750 – 6 900 = 850
i j Цена А Цена В Х y Доля продукции А Доля продукции В Купят у А Купят у В Себестоимость А Себестоимость В Прибыль А Прибыль В Aij
1 1 10 10 10 5 0,31 0,69 1550 3450 5 8 7750 6900 850
1 2 10 8 9 5,3 0,33 0,67 1749 3551 5 6 8745 7102 1643
1 3 10 6 8 5,6 0,25 0,75 1400 4200 5 2,94 7000 12852 -5852
1 4 10 4 7 5,9 0,2 0,8 1180 4720 5 2 5900 9440 -3540
1 5 10 2 6 6,2 0,18 0,82 1116 5084 5 2,3 5580 -1525,2 7105,2
2 1 8 10 9 5,3 0,4 0,6 2120 3180 4 8 8480 6360 2120
2 2 8 8 8 5,6 0,35 0,65 1960 3640 4 6 7840 7280 560
2 3 8 6 7 5,9 0,32 0,68 1888 4012 4 2,94 7552 12276,72 -4724,72
2 4 8 4 6 6,2 0,28 0,72 1736 4464 4 2 6944 8928 -1984
2 5 8 2 5 6,5 0,25 0,75 1625 4875 4 2,3 6500 -1462,5 7962,5
3 1 6 10 8 5,6 0,52 0,48 2912 2688 3,3 8 7862,4 5376 2486,4
3 2 6 8 7 5,9 0,48 0,52 2832 3068 3,3 6 7646,4 6136 1510,4
3 3 6 6 6 6,2 0,4 0,6 2480 3720 3,3 2,94 6696 11383,2 -4687,2
3 4 6 4 5 6,5 0,35 0,65 2275 4225 3,3 2 6142,5 8450 -2307,5
3 5 6 2 4 6,8 0,3 0,7 2040 4760 3,3 2,3 5508 -1428 6936
4 1 4 10 7 5,9 0,6 0,4 3540 2360 2 8 7080 4720 2360
4 2 4 8 6 6,2 0,58 0,42 3596 2604 2 6 7192 5208 1984
4 3 4 6 5 6,5 0,55 0,45 3575 2925 2 2,94 7150 8950,5 -1800,5
4 4 4 4 4 6,8 0,5 0,5 3400 3400 2 2 6800 6800 0
4 5 4 2 3 7,1 0,4 0,6 2840 4260 2 2,3 5680 -1278 6958
5 1 2 10 6 6,2 0,9 0,1 5580 620 3,2 8 -6696 1240 -7936
5 2 2 8 5 6,5 0,85 0,15 5525 975 3,2 6 -6630 1950 -8580
5 3 2 6 4 6,8 0,7 0,3 4760 2040 3,2 2,94 -5712 6242,4 -11954,4
5 4 2 4 3 7,1 0,65 0,35 4615 2485 3,2 2 -5538 4970 -10508
5 5 2 2 2 7,4 0,4 0,6 2960 4440 3,2 2,3 -3552 -1332 -2220

a_ij=(8-0,3*((p_1-p_2)/2))*(1000*(d_A*(p_1-s_1 )-(1-d_A )*(p_2-s_2 ))- по этой формуле расписать как считали каждый элемент платежной матрицы
Где d_A – доля предприятия А;
s_1 и s_2 – себестоимость;
1-d_A – доля предприятия В.
a_12=(8-0,3*((p_1-p_2)/2))*(1000*(d_A*(p_1-s_1 )-(1-d_A )*(p_2-s_2 ))
В1 В2 В3 В4 В5 min (по строке)
А1 0,85 1,64 -5,85 -3,54 7,11 -5,85
А2 2,12 0,56 -4,72 -1,58 7,96 -4,72
А3 2,49 1,51 -4,69 -2,91 6,54 -4,69
А4 2,36 1,98 -1,80 0 6,96 -1,80
А5 -7,94 -8,58 -11,95 -10,51 -2,22 -11,95
max (по столбцу) 2,49 1,98 -1,80 0 7,96

max(min) = -1,80 – нижняя цена игры
min(max) = -1,80 – верхняя цена игры

(А4, В3) – равновесие
Для предприятия А и В технология №5 всегда не выгодна, так как себестоимость больше цены
Доминируемые технологии А2 > А5
В равновесии будет реализовано:
y=8-0,3*(4+8)/2=6,2 ⇒6200 единиц
У предприятия А купят: 6 200 * 0,55 = 3 410 ⇒ в выигрышном положении
У предприятия В купят: 6 200 * 0,45 = 2 730 предприятие А
Интерпретация: фирмы конкурируют по цене ⇒ кто установит меньшую цену, принимая во внимание свои издержки, тот и завоюет большую часть рынка и получит большую прибыль (больше продает соответственно).

№ 4.1
2 игрок BR = best response - лучшая стратегия для игрока 2

В1 В2
А1 8 3 Х
А2 2 3 (1 – х)
у (1 – у)

U(A1) = 8y + (1 – y) * 3 = 5y + 3
U(A2) = 2y + (1 – y) * 3 = y + 3
U(A1) > U(A2)
5y + 3 > y + 3
4y > 0
y > 0 ⇒ при y∈(0;1)
A1 > A2
BR_1={█(A_1, y>0@βA_1+(1-β) A_2, y=0)┤
βϵ(0;1)
U(B1) = 8x + (1 – x) * 2 = 6x + 2
U(B2) = 3x + (1 – x) * 3 = 3
U(B1) > U(B2)
6x + 2 > 3
x > 1/6
BR_2={█(█(B_2, x<1/6@αB_1+(1-α) B_2, x=1/6, α∈(0;1) )@B_1, x>1/6)┤
2 игрок
В1 В2 В3 В4 В5
А1 8 3 7 4 2
А2 2 4 2 8 4
В4 > B2 (4 > 3); (0 > 4)
В4 > B5 (4 > 2); (8 > 4)
x: 8x + 2 * (1 – x) = 4x + (1 – x) * 8
4x + 2 – 2x = 8 – 8x
10x = 6
x = 6/10
⇒ если x < 0,6, то игрок 2 → В1
если х > 0,6, то игрок 2 → В4
если х = 0,6 смешивает ⇒ αВ_1+(1-α)В_4
α∈(0;1)



при любом значении х, игрок 2 не играет стратегию В3 ⇒ ее можно не рассматривать при поиске BR первого игрока.
8р + (1 – р) * 4 = 2р + (1 – р) * 8
8р + 4 * 4р = 2р + 8 – 8р
4р + 4 = -6р + 8
10р = 4
р = 0,4
⇒ при р < 0,4, то игрок 1 → А2
при р > 0,4, то игрок 1 → А1
при р = 0,4 игрок 1 смешивает γА_1+(1-γ)А_2, γ∈(0;1)

В1 В2
А1 8 13
А2 12 24
А3 3 39
А4 4 18
А5 15 5
А6 27 16

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.
Игроки B1 B2 a = min(Ai)
A1 8 13 8
A2 12 24 12
A3 3 39 3
A4 4 18 4
A5 15 5 5
A6 27 16 16
b = max(Bi) 27 39

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 16, которая указывает на максимальную чистую стратегию A6.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 27.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 16 ≤ y ≤ 27. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).
2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы.
Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.
Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если aij ≥ akj для всех j Э N и хотя бы для одного j aij > akj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка