Контрольная работа по экономике на тему Критерий Байеса. Методы оптимальных решений

Задача 1. Изделия четырех типов проходят последовательную обработку на двух станках. Время обработки одного изделия каждого типа на каждом из станков:
Станок Время обработки одного изделия, ч
Тип 1 Тип 2 Тип 3 Тип 4
1 5 3 4 6
2 3 5 2 2

Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в Машино-часах). Стоимость Машино-часа составляет $10 и $15 для станка 1 и 2 соответственно. Допустимое время для использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов – для станка 1 и 380 машино-часов для станка 2. Цены изделий типов 1, 2, 3 и 4 равны $65, $70, $55 и $45 соответственно. Составить план производства, максимизирующий чистую прибыль


РЕШЕНИЕ

Критерий Байеса.
По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) Ai, при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r.
Считаем значения ∑(aijpj)
∑(a1,jpj) = 5*0.25 + 3*0.25 + 4*0.25 + 6*0.25 = 4.5
∑(a2,jpj) = 3*0.25 + 5*0.25 + 2*0.25 + 2*0.25 = 3
Ai П1 П2 П3 П4 ∑(aijpj)
A1 1.25 0.75 1 1.5 4.5
A2 0.75 1.25 0.5 0.5 3
pj 0.25 0.25 0.25 0.25

Выбираем из (4.5; 3) максимальный элемент max=4.5
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Критерий Вальда.
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min aij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Ai П1 П2 П3 П4 min(aij)
A1 5 3 4 6 3
A2 3 5 2 2 2

Выбираем из (3; 2) максимальный элемент max=3
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Критерий Севиджа.
Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается: a = min(max rij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце bj = max(aij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r11 = 5 - 5 = 0; r21 = 5 - 3 = 2;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r12 = 5 - 3 = 2; r22 = 5 - 5 = 0;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r13 = 4 - 4 = 0; r23 = 4 - 2 = 2;
4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.
r14 = 6 - 6 = 0; r24 = 6 - 2 = 4;
Ai П1 П2 П3 П4
A1 0 2 0 0
A2 2 0 2 4

Результаты вычислений оформим в виде таблицы.
Ai П1 П2 П3 П4 max(aij)
A1 0 2 0 0 2
A2 2 0 2 4 4

Выбираем из (2; 4) минимальный элемент min=2
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Критерий Гурвица.
Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:
max(si)
где si = y min(aij) + (1-y)max(aij)
При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).
Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.
Рассчитываем si.
s1 = 0.5*3+(1-0.5)*6 = 4.5
s2 = 0.5*2+(1-0.5)*5 = 3.5
Ai П1 П2 П3 П4 min(aij) max(aij) y min(aij) + (1-y)max(aij)
A1 5 3 4 6 3 6 4.5
A2 3 5 2 2 2 5 3.5

Выбираем из (4.5; 3.5) максимальный элемент max=4.5
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A1.

Задача 2. Решить транспортную задачу. В ответе указать план и минимальную стоимость всех перевозок.
а1 bj 20 20 30 30
20 2 4 8 2
30 4 6 10 3
50 2 5 9 7


РЕШЕНИЕ
Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов
B1 B2 B3 B4 Запасы
A1 2 4 8 2 20
A2 4 6 10 3 30
A3 2 5 9 7 50
Потребности 20 20 30 40

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.
∑a = 20 + 30 + 50 = 100
∑b = 20 + 20 + 30 + 40 = 110
Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения превышает запасы груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) базу с запасом груза, равным 10 (100—110). Тарифы перевозки единицы груза из базы ко всем потребителям полагаем равны нулю.
Занесем исходные данные в распределительную таблицу.
B1 B2 B3 B4 Запасы
A1 2 4 8 2 20
A2 4 6 10 3 30
A3 2 5 9 7 50
A4 0 0 0 0 10
Потребности 20 20 30 40

Этап I. Поиск первого опорного плана.
Искомый элемент равен c11=2. Для этого элемента запасы равны 20, потребности 20. Поскольку минимальным является 20, то вычитаем его.
x11 = min(20,20) = 20.
2 x x x 20 - 20 = 0
4 6 10 3 30
2 5 9 7 50
0 0 0 0 10
20 - 20 = 0 20 30 40


Искомый элемент равен c24=3. Для этого элемента запасы равны 30, потребности 40. Поскольку минимальным является 30, то вычитаем его.
x24 = min(30,40) = 30.
2 x x x 0
4 x x 3 30 - 30 = 0
2 5 9 7 50
0 0 0 0 10
0 20 30 40 - 30 = 10


Искомый элемент равен c32=5. Для этого элемента запасы равны 50, потребности 20. Поскольку минимальным является 20, то вычитаем его.
x32 = min(50,20) = 20.
2 x x x 0
4 x x 3 0
2 5 9 7 50 - 20 = 30
0 x 0 0 10
0 20 - 20 = 0 30 10


Искомый элемент равен c34=7. Для этого элемента запасы равны 30, потребности 10. Поскольку минимальным является 10, то вычитаем