Контрольная работа по математике. Задача 4. Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации стоимости перевозок.

ВАРИАНТ 18
Задача 1
Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.
Для изготовления изделий F и G предприятие использует три различных вида сырья. Норма расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия F и G, а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в таблице.
Вид сырья Нормы затрат сырья (кг) Запас сырья

F П
I 2 4 11
II 1 3 7
III 2 1 10
Цена за шт. (долл.) 1 2
Составьте план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной продукции является максимальной.
Решение
{█(2x_1+4x_2≤11@x_1+3x_2≤7@2x_1+x_2≤10)┤
F=x_1+2x_2→max

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x1+4x2=11
x1+3x2=7
Решив систему уравнений, получим: x1 = 2.5, x2 = 1.5
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 1*2.5 + 2*1.5 = 5.5
Поскольку функция цели F(x) параллельна прямой (1), то на отрезке CD функция F(x) будет принимает одно и тоже максимальное значение.
Для определения координат точки D решим систему двух линейных уравнений:
2x1+4x2=11
2x1+x2=10
Решив систему уравнений, получим: x1 = 4.8333, x2 = 0.3333
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 1*4.8333 + 2*0.3333 = 5.5

Задача 2
Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц.
В районе лесного массива имеются лесопильный завод и фанерная фабрика. Чтобы получить 2,5 м3 коммерчески реализуемых комплектов пиломатериалов, необходимо израсходовать 2,5 м3 еловых и 7,5 м3 пихтовых лесоматериалов. Для изготовления листов фанеры по 100 м2 требуется 5 м3 еловых и 10 м3 пихтовых лесоматериалов. Лесной массив содержит 80 м3 еловых и 180 м3 пихтовых лесоматериалов.
Согласно условиям поставок, в течение планируемого периода необходимо произвести по крайней мере 10 м3 пиломатериалов и 1200 м2 фанеры. Доход с 1 м3 пиломатериалов составляет 160 руб., а со 100 м2 фанеры - 600 руб.
Постройте математическую модель для нахождения плана производства, максимизирующего доход. При построении модели следует учесть тот факт, что пиломатериалы могут быть реализованы только в виде неделимого комплекта рахмером 2,5 м3, а фанера - в виде неделимых листов по 100 м2.
Решение
x_1- 2,5 м^3 пиломатериалов
x_2-100 м^2 фанеры
2,5x_1+5x_2≤80
7,5x_1+10x_2≤180
x_1≥4
x_2≥12
64x_1+600x_2→max
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
2.5x1+5x2+x3 = 80
7.5x1+10x2+x4 = 180
x1-x5 = 0
x2-x6 = 12
Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:
2,5 5 1 0 0 0 80
7,5 10 0 1 0 0 180
1 0 0 0 -1 0 0
0 1 0 0 0 -1 12


Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.
1. В качестве базовой переменной можно выбрать x3.
2. В качестве базовой переменной можно выбрать x4.
3. В качестве базовой переменной можно выбрать x5.
Получаем новую матрицу:
2.5 5 1 0 0 0 80
7.5 10 0 1 0 0 180
-1 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 -1 12
4. В качестве базовой переменной можно выбрать x6.
Получаем новую матрицу:
2.5 5 1 0 0 0 80
7.5 10 0 1 0 0 180
-1 0 0 0 1 0 0
0 -1 0 0 0 1 -12
Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (3,4,5,6).
Выразим базисные переменные через остальные:
x3 = -2.5x1-5x2+80
x4 = -7.5x1-10x2+180
x5 = x1
x6 = x2-12
Подставим их в целевую функцию:
F(X) = 64x1+600x2
Среди свободных членов bi имеются отрицательные значения, следовательно, полученный базисный план не является опорным.
Вместо переменной x6 следует ввести переменную x2.
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 20 2.5 0 1 0 0 5
x4 60 7.5 0 0 1 0 10
x5 0 -1 0 0 0 1 0
x2 12 0 1 0 0 0 -1
F(X0) -7200 64 0 0 0 0 600
Выразим базисные переменные через остальные: