Задачи по физике

Вариант 3
Задача 1
Колесо радиуса 0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задаётся уравнением ω=2A·t +5B·t4; (A = 2 рад/с2 и B = 1 рад/с5). Чему равны: полное ускорение точек обода колеса через 1 с после начала вращения и число оборотов, сделанных колесом за это время?
Дано:
ω=2At+5Bt^4
A=2 рад/с^2
B=2 рад/с^5
t=1 c
R=0,1 м
Найти:
a-? N- ?
Решение
Для нахождения модуля полного ускорения воспользуемся формулой:
a=√(a_n^2+a_τ^2 ),
где a_n – это модуль нормального ускорения, а a_τ – модуль тангенциального ускорения.
Найдем составляющие полного ускорения. Нормальное ускорение можно рассчитать по формуле:
a_n=v^2/R
Здесь v – линейная скорость, R – радиус вращения точки. Учитывая связь линейной и угловой скоростей (v=ωR), получим следующую формулу для модуля нормального ускорения:
a_n=(ω^2 R^2)/R=ω^2 R
Тангенциальное ускорение найдём, используя формулу:
a_τ=εR,
где ε – угловое ускорение точки. Угловое ускорение найдем как производную от угловой скорости по времени:
ε=dω/dt=2A+20Bt^2
Тогда
a_τ=(2A+20Bt^2)R
В момент времени t=1c получим:
ω=2∙2∙1+5∙1∙1^5=9 рад/с
a_n=9^2∙0,1=8,1 м/с^2
a_τ=2∙2∙0,1+20∙1∙0,1∙1^3=2,4 м/с^2
a=√(〖8,1〗^2+〖2,4〗^2 )≈8,45 м/с^2
Чтобы найти число оборотов за 1 секунду, найдем частоту вращения. Частота вращения связана с угловой скоростью следующей формулой:
ω=2πn⟹n=ω/2π
Зная значение угловой скорости за время 1 секунда, найдём:
n=9/2π≈1,43 об/с
То есть за 1 секунду колесо совершает N =1, 43 оборота
Ответ: a=8,45 м/с^2; N =1, 43 оборота.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И ИСТОЧНИКОВ
Иродов И. Е. Механика. Основные законы/И. Е. Иродов – 10-е изд. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010 – 309 с.
Кинематика твёрдого тела: учеб. пособие для студентов вузов/разработчики – Л.Б. Черняховская, Л. А. Шабанов – Самара, 2008
Кинематика вращательного движения абсолютно твёрдого тела. Лекция 2//Томский политехнический университет[Электронный источник] – URL: https://portal.tpu.ru/SHARED/e/ELENALIS/rabota/Tab4/Lk2.pdf
 
Задача 2
Чему равна наименьшая высота, с которой должна скатываться тележка с человеком по жёлобу, переходящему в петлю радиусом 10 м, чтобы она сделала полную петлю и не выпала из жёлоба?
Дано:
R=10 м
Найти:
h-?
Решение
Сделаем чертёж к задаче.




Воспользуемся законом сохранения энергии:
E_к1+E_п1=E_к2+E_п2

E_к1=0, так как в точке А тело имеет скорость, равную 0.
E_п1=mgh, где h – искомая высота.
E_к2=(mv^2)/2, где v – скорость тела в точке В.
E_п2=mg2R=2mgR, где 2R – высота, на которой находится тело в точке В.
Тогда получим:
mgh=(mv^2)/2+2mgR⟹gh=v^2/2+2gR
В точке B на тело действует сила тяжести F_т=mg и сила реакции опоры N, которые вызывают центростремительное ускорение. Для того, чтобы тело не полетело вниз под действием силы тяжести, необходимо, чтобы как минимум сила реакции опоры была равна 0, а центробежная сила (равная по модулю центростремительной силе F_цб=(mv^2)/R) компенсировала силу тяжести, то есть:
mg=(mv^2)/R⟹v^2=gR
Подставим (2) в (1):
gh=gR/2+2gR⇒h=2,5R
h=2,5∙10=25 м
Значит, минимальная высота, с которой может скатиться тележка с человеком и при этом сделать полную петлю, должна быть 25 м.
Ответ: h=25 м

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И ИСТОЧНИКОВ
Иродов И. Е. Механика. Основные законы/И. Е. Иродов – 10-е изд. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010 – 309 с.
Мякишев Г. Я. Физика/Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский – 19-е изд./учебник для общеобразовательных учреждений – 10 кл./под ред. В. И. Николаева, Н. А. Парфентьевой – М.: Просвещение, 2010 – 366 с.