Механическое движение и взаимодействия материальных тел.

Задание С2

Однородная балка закреплена в точках А и В, нагружена силой F = 20 Н, равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью q = 48 Н/м и парой сил с моментом М = 5,3 Н·м. Размеры конструкции: a = 0,24 м, b = 0,45 м, с = 0,40 м, β = 55°. Определить реакции связей в точках А и В.


Решение

Выбираем объектом исследования плоскую балку (рис. 1).
Изображаем активные силы, приложенные к объекту исследования (рис. 1):
1. Распределенную нагрузку заменим силой Q = q·b = 48·0,45 = 21,6 H, приложенную в середине участка b.
2. Пару сил с моментом М = 5,3 Н·м.
3. Силу F = 20 H.
Заменяем связи, наложенные на объект исследования, их реакциями. Опору в точке А заменяем реакциями RAx; RAy, а опору в точке В заменяем реакцией RBу.



Изм. Лист. № докум. Подпись Дата
Разраб. Контрольная работа Лит. Лист Листов
Проверил 2 13
Принял





Рис. 1

Составим уравнение равновесия моментов относительно точки А:
ΣМА = 0;
М + с·Fcosβ – 0,5b·Q - (b-a)·Fsinβ - ((a+b)-b)·RBy = 0
Найдем из него RBy:
RBy = (М + с·Fcosβ – 0,5b·Q - (b-a)·Fsinβ)/a =
= (5,3 + 0,4·20·0,574 — 0,5·0,45·21,6 – 0,21·20·0,819)/0,24 = 6,6 Н
Уравнение равновесия сил по оси х:
ΣFx = 0; RAx + Fcosβ = 0
Найдем RAx:
RAx = -Fcosβ = -20·0,574 = -11,5 H
Уравнение равновесия сил по оси y:
ΣFy = 0; RAy - Fsinβ - Q + RBy = 0
Найдем RAy:
RAy = Fsinβ + Q – RВy = 20·0,819 + 21,6 - 6,6 = 31,4 H
Выполним проверку.
Уравнение равновесия моментов относительно точки С:
ΣМС = 0;

Лист
3
Изм. Лист № докум. Подпись Дата




М – (a-0,5b)·Q – b·RBy – с·RAx - (b-a)·RAy = 0
5,3 - 0,015·21,6 — 0,45·6,6 + 0,4·11,5 – 0,21·31,4 = 0
0 = 0
Реакции найдены верно.

Лист
4
Изм. Лист № докум. Подпись Дата



Кинематика точки

Движение точки задано уравнениями х = 4·cos(πt) (см), у = 2·sin(πt) – 1 (см).
1) Получить уравнение траектории точки. Определить скорость и полное ускорение точки для момента времени t1 = 2/3 с.
2) Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории при t1 = 2/3 с.
3) На траектории построить положение точки для момента времени t1 = 2/3 с и изобразить скорость точки, полное ускорение, нормальное и касательное ускорения, радиус кривизны траектории.

Решение

Для определения траектории точки исключим из уравнений время t:
cos(πt) = х/4; cos2(πt) = х2/42
sin(πt) = (у + 1)/2; sin2(πt) = (у + 1)2/22
sin2(πt) + cos2(πt) = 1
х2/42 + (у + 1)2/22 = 1 — уравнение эллипса.


Лист
5
Изм. Лист № докум. Подпись Дата





Находим скорость точки.
Vx = dx/dt = -4πsin(πt)
Vу = dу/dt = 2πcos(πt)
В момент времени t1 = 2/3 с.
Vx = -4πsin(π·(2/3)) = -10,9 см/с
Vу = 2πcos(π·(2/3)) = -3,1 см/с
V = (Vx2 + Vу2)1/2 = (10,92 + 3,12)1/2 = 11,3 см/с
Находим ускорение точки.
ax = dVx/dt = -4π2cos(πt)
aу = dVу/dt = -2π2sin(πt)
В момент времени t1 = 2/3 с.
ax = -4π2cos(π·(2/3)) = 19,7 см/с2
aу = -2π2sin(π·(2/3)) = -17,1 см/с2
a = (ax2 + aу2)1/2 = (19,72 + 17,12)1/2 = 26,1 см/с2
Вычисляем касательное и нормальное ускорения точки.
аτ = dV/dt = (Vxax + Vуaу)/V = ((-10,9)·19,7 + (-3,1)·(-17,1))/11,3 = -14,3 см/с2
аn = (a2 – аτ2)1/2 = (26,12 — 14,32)1/2 = 21,8 см/с2
Радиус кривизны траектории:
R = V2/an = 11,32/21,8 = 5,9 см
На траектории построим положение точки для момента времени t1 = 2/3 с и изобразим скорость точки, полное ускорение, нормальное и касательное ускорения, радиус кривизны траектории.

Лист
6
Изм. Лист № докум. Подпись Дата






Рис. 2