Фрагмент для ознакомления
2
Бинарные отношения. Количественная теория множества целых неотрицательных чисел
Тема 4. Соответствия между двумя множествами
Соответствия между двумя множествами. Понятие соответствия. Способы задания соответствий
Задание для самостоятельной работы
1. Задайте всеми известными способами соответствие между множествами Х = {3, 4, 5, 9} и Y = {135, 0, 264, 122} «число х является делителем числа у».
Решение.
1) при помощи предложения с двумя переменными: x|y при условии, что x∈X, y∈Y.
2) перечислив все пары элементов (где первый элемент принадлежит множеству Х, второй - множеству Y), находящихся в заданном соответствии: {(3, 135), (3, 0), (3, 264), (4, 0), (4, 264), (5, 135), (5, 0), (9, 135), (9, 0)}.
3) при помощи графа (рис. 1);
4) при помощи графика, так как между парами чисел, принадлежащих подмножеству декартова произведения X×Y и точками плоскости, существует взаимно однозначное соответствие (рис. 2).
5) при помощи таблицы.
Таблица 1.
х|у
135 0 264 122
3
4
5
9
Взаимно однозначные соответствия
Задание для самостоятельной работы
1. Пусть Х множество действительных чисел, Y - множество точек координатной прямой. Соответствие между ними таково: действительному числу сопоставляется точка координатной прямой. Является ли это соответствие взаимно однозначным?
Решение. Данное соответствие между точками координатной прямой и множеством действительных чисел является взаимно однозначным, так как доказано, что для любого действительного числа существует единственная точка координатной прямой координата которой равна этому числу и что различным действительным числам соответствуют различные точки координатой прямой координаты которых равны этим числам.
Тема 5. Бинарные отношения на множестве
Понятие отношения на множестве. Свойства отношений
Задание для самостоятельной работы
1. Выясните какие из следующих отношений обладают свойством транзитивности, антитранзитивности, не обладает ни тем ни другим свойством.
R – быть больше в 3 раза на множестве N;
Q – жить на одном этаже на множестве людей;
T – иметь общую площадь на множестве множеств.
Решение.
R: «быть больше в 3 раза на множестве N» не является транзитивным отношением на множестве N, так как если для натуральных чисел x, y и z: x = 3y и y = 3z, то x = 3(3z) = 9z. Например, если x = 9, y = 3 и z = 1, то x = 3y и y = 3z, а x = 9z. Таким образом, понятно, что это отношение не выполняется ни для каких натуральных чисел и поэтому оно является антитранзитивным.
Q: «жить на одном этаже на множестве людей» является транзитивным отношением, так как если человек x живёт на одном этаже с человеком y, а человек y живёт на одном этаже с человеком z, то человек x живёт на одном этаже с человеком z.
T: «иметь общую площадь на множестве фигур» не обладает ни свойством транзитивности, ни свойством антитранзитивности, так как для некоторых троек фигур это отношение выполняется, а для некоторых нет.
2. Среди графов, изображенных на рис. 10, укажите графы отношений: а) рефлексивного и транзитивного; б) рефлексивного и симметричного; в) антисимметричного и транзитивного; г) рефлексивного, симметричного и транзитивного.
а)
б)
в)
Рис. 10
Решение. Рефлексивный и транзитивный граф изображён на рис. 10 б);
Рефлексивный и симметричный граф изображён на рис. 10 в); Антисимметричный и транзитивный граф изображён на рис. 10 в) (этот граф также и рефлексивный); Рефлексивный, симметричный и транзитивный граф изображён на рис. 10 а).
Отношения эквивалентности. Разбиение множества на классы эквивалентности
Задание для самостоятельной работы
1. На множестве В = { } задано отношение «дробь х равна дроби у». Объясните, почему данное отношение является отношением эквивалентности, и запишите классы эквивалентности.
Решение. Это отношение является отношением эквивалентности так как оно рефлексивно (каждая дробь равна сама себе), симметрично (так как ели одна дробь равна другой дроби, то вторая дробь равна первой) и транзитивно (так как если одна дробь равна другой а другая равна третьей, то первая дробь равна третьей).
Это отношение производит разбиение множества B на следующие классы эквивалентности: {{1/2,5/10,25/50},{3/4,6/8},{4/7}}.
Отношение порядка. Упорядоченное множество
Задание для самостоятельной работы
1. Графы отношений Р, Q и М приведены соответственно на рисунке 12. Определите свойства данных отношений и укажите среди них отношение: а) эквивалентности; б) порядка.
Рис. 12
