метод итераций (или метод последовательных приближений), 2) метод касательных или метод Ньютона, 3) метод деления отрезка пополам.

ВАРИАНТ 9

Контрольная работа № 1

Задание 1. Найти все лежащие на указанном отрезке корни уравнения с относительной погрешностью ε=0.01 с помощью следующих методов: 1) метод итераций (или метод последовательных приближений), 2) метод касательных или метод Ньютона, 3) метод деления отрезка пополам.
(2+cosx)sin2x-1=0
Решение. Построим график функции f(x)=(2+cosx)sin2x-1 на этом интервале, чтобы определить количество корней на нем. И увидеть приблизительные значения.
Из графика видно, что f(x)=0 при x∈[0;0,2]∪[1.2;1.4]∪[3.6;3.8]
[5, c.6].
Применяя метод итераций, найдем корни, лежащие на отрезке [0; 0.2]. Преобразуем уравнение к виду: x=φ(x), сделав преобразования:
x=arcsin⁡(1/(2+cosx))/2
То есть нам нужно найти абсциссу точки пересечения графиков

Выберем начальное значение x_0=0 и подставим в правую часть:
x_1=φ(x_0 )=arcsin⁡(1/(2+cos0))/2≈0,1699
x_1-x_0=0.1699>ε
Значит, продолжаем метод итераций.
x_2=φ(x_1 )=arcsin⁡(1/(2+cos⁡(0,1699) ))/2≈0,171
x_2-x_1≈0.001<ε
Следовательно, первый корень уравнения: ≈0,171[5, c.13].
Для интервала [1.3;1.4] зададим функцию φ(x) в виде:
φ(x)=√(x^2+(2+cosx)sin2x-1)
Тогда графики функций:

Выберем начальное значение x_0=1,3 и подставим в правую часть:
x_1=φ(x_0 )=√(〖(1,3)〗^2+(2+cos⁡(1,3))sin⁡(2*1,3)-1)≈1,3634
〖|x〗_1-x_0 |=0,0634>ε
Значит, продолжаем метод итераций.
x_2=φ(x_1 )=√(〖(1,3634)〗^2+(2+cos⁡(1,3634))sin⁡(2*1,3634)-1)≈1,322
|x_2-x_1 |≈0.04>ε
x_3=φ(x_2 )=√(〖(1,322)〗^2+(2+cos⁡(1,322))sin⁡(2*1,322)-1)≈1.349
〖|x〗_3-x_2 |≈0.027>ε
x_4=φ(x_3 )=√(〖(1,349)〗^2+(2+cos⁡(1,349))sin⁡(2*1,349)-1)≈1.331
〖|x〗_4-x_3 |≈0.018>ε
x_5=φ(x_4 )=√(〖(1,331)〗^2+(2+cos⁡(1,331))sin⁡(2*1,331)-1)≈1,3431
〖|x〗_5-x_4 |≈0.012>ε
x_6=φ(x_5 )=√(〖(1,3431)〗^2+(2+cos⁡(1,3431))sin⁡(2*1,3431)-1)≈1,335
〖|x〗_6-x_5 |≈0.0081<ε
Следовательно, второй корень уравнения: ≈1.335
2) Метод Ньютона. Корни будем искать, используя формулу:
x_(k+1)=x_k-(f(x_k))/(f^' (x_k))
Найдем производную заданной функции:
f^' (x)=2(2+cosx) cos⁡(2x)-sinxsin(2x)
Первый интервал: [0;0,2]
x_1=x_0-f(x_0 )/(f^' (x_0 ) )=0+1/6≈0.167
〖|x〗_1-x_0 |=0,167>ε
x_2=0.167+0.0211/5.588≈0.171
〖|x〗_2-x_1 |=0,004<ε
То есть первый корень уравнения: ≈0.171[8].
Второй интервал: [1.3;1.4]
x_1=x_0-f(x_0 )/(f^' (x_0 ) )=1,3+0,1689/4,3827≈1,339
〖|x〗_1-x_0 |=0,039>ε
x_2=1,339+0.003/4,424≈1,3397
〖|x〗_2-x_1 |=0,0007<ε
Второй корень уравнения: ≈1,3397
Третий интервал: [3.5;3,8]
x_1=x_0-f(x_0 )/(f^' (x_0 ) )=3,5+0,301/1,83≈3,664
〖|x〗_1-x_0 |=0,16>ε
x_2=3,664+0.02/1,57≈3,6767
〖|x〗_2-x_1 |=0,0127>ε
x_3=3,6767+0.00006/1,5414≈3,6767
〖|x〗_3-x_2 |=0,0000<ε
Третий корень: ≈3,6767 [8].
3) Метод деления отрезка пополам (метод дохотомии).
Интервал [0;0,2]
Найдем середину отрезка:
x_1=(0+0,2)/2=0,1
f(0.1)*f(0.2)=-0.4*0.16<0
x_2=(0.1+0,2)/2=0.15
〖|x〗_2-x_1 |=0.05>ε
f(0.15)*f(0.2)=-0.117*0.16<0
x_3=(0.15+0,2)/2=0.175
〖|x〗_3-x_2 |=0.02>ε
f(0.175)*f(0.15)=0.023*(-0.117)<0
x_4=(0.175+0,15)/2=0.1625
〖|x〗_4-x_3 |=0.0125>ε
f(0.1625)*f(0.175)=-0.0463*0.023<0
x_5=(0.1625+0,175)/2=0.1688
〖|x〗_5-x_4 |=0.006<ε
Первый корень: 0,1688
Интервал [1.3;1.4] [2, c.5]
x_1=(1,3+1,4)/2=0,35
f(1,3)*f(1,35)=-0,052*0.1689<0
x_2=(1,3+1,35)/2=1,325