кручение

Задача 1

На вал постоянного сечения насажены четыре шкива. В точках А, В и С вал установлен на подшипниках качения. Шкив 1 передаёт от источника энергии (электродвигатель) на вал мощность N1, а остальные шкивы снимают с вала и передают другим рабочим механизмам мощности N2, N3, N4. Вал вращается с частотой вращения n.
Определить величины моментов, подводимых к шкиву 1 стального вала G=8·104 МПа и снимаемых со шкивов 2, 3 и 4.
Построить эпюру крутящих моментов.
Определить требуемый диаметр вала из расчётов на прочность и жёсткость.
Построить эпюру касательных напряжений τ для наиболее нагруженного участка вала.
Таблица 1 – Исходные данные

N2 N3 N4 n [τ] [θ]·10-3
кВт мин-1 МПа рад/м
45 30 35 400 55 10,0



Расчеты

Вычертим схему вала и покажем направления кручения вала и крутящих моментов (рис. 1).



Изм. Лист. № докум. Подпись Дата
Разраб. Контрольная работа Лит. Лист Листов
Проверил 2 12
Принял



Вычислим величины моментов, передаваемых каждым из шкивов по формуле:
Мк2 = 9,551·(N2/n) = 9,551·(45/400) = 1,074 кНм;
Мк3 = 9,551·(N3/n) = 9,551·(30/400) = 0,716 кНм;
Мк4 = 9,551·(N4/n) = 9,551·(35/400) = 0,836 кНм.
Значение момента Мк1 определяется из уравнения равновесия, составленного относительно оси х:
ΣМк = 0; -Мк4 + Мк1 - Мк2 - Мк3 = 0
Отсюда:
Мк1 = 1,074 + 0,716 + 0,836 = 2,626 кНм.
Строим эпюру крутящих моментов с использованием метода сечения.
Эпюра крутящих моментов начинается от середины шкива 3. С учётом правила знаков запишем внутренний крутящий момент:
на I участке
МхI = -Мк3 = -0,716 кНм
на II участке
МхII = -Мк3 - Мк4 = -1,552 кНм
на III участке
МхIII = -Мк3 - Мк4 + Мк1 = 1,074 кНм
Как видим из эпюры крутящих моментов, скачки на ней соответствуют значениям моментов, где подаётся или снимается соответствующая мощность. Из построенной эпюры Мк следует, что наиболее опасным является II участок между шкивами 1 и 4.
Расчётный (наибольший) крутящий момент составляет Мкmax = 1,552 кНм
Определим диаметр вала из расчёта на прочность:
Wp ≥ Мкmax/[τ] = 1552/55·106 = 28,2·10-6 м3
Тогда:
D = (16Wp/π)1/3 = (16·28,2·10-6 /3,14)1/3 = 5,24·10-2 м = 52 мм
Определим диаметр вала из расчёта на жёсткость.
θ = Мкmax/(GJ) ≤ [θ]
Лист
3
Изм. Лист № докум. Подпись Дата






а – вал в аксонометрии; б – расчётная схема вала;
в – эпюра крутящих моментов Мк , кНм
Рисунок 1 – Последовательность графической интерпретации вала
при расчёте на кручение

Лист
4
Изм. Лист № докум. Подпись Дата




Тогда требуемый полярный момент инерции сечения вала:
Jp ≥ Мкmax/(G[θ]) = 1552/(8·1010·10·10-3) = 194·10-8 м4
Диаметр вала из условия жёсткости определится, как
D ≥ (32Jp/π)1/4 = (32·194·10-8 /3,14)1/4 = 6,67·10-2 м = 67 мм
Из двух рассчитанных величин диаметра вала выбирается наибольшее значение. Причём, полученный диаметр вала округляют до ближайшего значения из ряда R40 нормальных линейных размеров. В нашем случае принимаем D = 67 мм.
Вычислим наибольшие касательные напряжения в опасном сечении вала, как
τmax = Мкmax/Wp = 1552/(πD3/16) = 1552/(3,14·0,0673/16) = 26,3·106 Па
τmax = 26,3 МПа ≤ [τ] = 55 МПа
Строим эпюру касательных напряжений τ.

Рисунок 2 – Поперечное сечение вала и эпюра касательных напряжений τ