Частные производные первого порядка. Градиент. Производная по направлению

Частные производные первого порядка.
Градиент. Производная по направлению.
I. Найти частные производные первого порядка:
1) .
Решение.
Частной производной по х функции называется обычная производная этой функции по х, вычисленная в предположении, что у есть постоянная; частной производной по у функции называется ее производная по у, вычисленная в предположении, что х – постоянная.
Чтобы найти первую производную z по х, используем все правила и формулы дифференцирования функции одной переменной, с учетом, что в данном выражении переменную у будем считать величиной постоянной. Таким образом:

.
И наоборот: чтобы найти первую производную z по у, используем все правила и формулы дифференцирования функции одной переменной, с учетом, что в данном выражении переменную х будем считать величиной постоянной:

.
2) .
Решение.

;


.
3) .
Решение.

;

.
4) .
Решение.
;

.
5) .
Решение.
Преобразуем функцию, используя свойства логарифмической функции:
,
;
.

6) .
Решение.
;
.
7) .
Решение.



;



.
8) .
Решение.
;

.
II. Вычислить значения частных производных функции
в точке .
Решение.
Сначала найдем частные производные первого порядка, затем вычислим значения этих производный в заданной точке.
;
.
;
.
III. Найти градиент функции и вычислить его модуль в точке .
Решение.
Рассмотрим понятие градиента функции . Градиентом функции называется вектор с координатами .
Найдем , (работает только одна переменная, другая принимается за константу).
;
.
Вычислим полученные производные в заданной точке :
;
.
Тогда вектор имеет координаты: .
Применяя формулу , находим
.
IV. Найти производную функции по направлению вектора . Вычислить ее значение в точке .
Решение.
Производная данной функции в точке М по направлению вектора а вычисляется по формуле:
.
Находим частные производные:
;
.
Вычислим значения полученных частных производных для заданной точки:
;
.
Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:
; .
Модуль вектора а равен:
,
тогда направляющие косинусы:
; .
Для вектора а имеем:
.
V. Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению ?
Решение.
Найдем частные производные первого порядка для данной функции, после чего подставим их в левую часть данного уравнения.