Статика,Кинематика,Динамика

теоретическая механика С1,К2,Д5. 3 вариант
Задание С1. Равновесие произвольной плоской системы сил. Равновесие системы тел



P = 6 кН, F = 10 кН, q = 2 кН/м, M = 6 кН м, α = 300, β = 450, a = 3 м, b = 4 м, c = 2 м

РЕШЕНИЕ

Задача 1

Дано
P = 6 кН, F = 10 кН, q = 2 кН/м, M = 6 кН м, α = 300, β = 450, a = 3 м, b = 4 м, c = 2 м
--------------------------------------------------------------------------------------------
XA = ? YA = ? RB = ?




Нагрузку q заменяем силой Q = q*a = 6 (кН), приложенной к середине отрезка.

Условие равновесия системы.

Сумма всех сил равна нулю и сумма всех моментов сил равна нулю.

На систему действуют следующие силы.

1) Реакция в точке A, которую раскладываем на составляющие XA и YA

2) Силы F, Q и P.

3) Реакция наклонной плоскости в точке B.

∑▒F_kx =0,∑▒F_ky =0,∑▒〖m_A ((F_k ) ⃗ ) 〗=0

Момент силы реакции RB находим по теореме Вариньона.

{█(X_A+Fsin(α)+Q-R_B sin⁡(β)=0@Y_A-Fcos(α)+P+R_B cos⁡(β)=0@-M-F*b+P*(b+c)*cos⁡(α)-Q*((b+c)*sin⁡(α)-0,5a)+@+R_B sin⁡(β)*((b+c)*sin⁡(α)-a)+R_B cos⁡(β)*(b+c)*cos⁡(α)=0)┤

Подставляем исходные данные.

{█(X_A+10*sin(〖30〗^0 )+6-R_B sin⁡(〖45〗^0 )=0@Y_A-10*cos(〖30〗^0 )+6+R_B cos⁡(〖45〗^0 )=0@-6-10*4+6*6*cos⁡(〖30〗^0 )-6*(6*sin⁡(〖30〗^0 )-1,5)+@+〖 R〗_B sin⁡(〖45〗^0 )*(6*sin⁡(〖30〗^0 )-3)+R_B cos⁡(〖45〗^0 )*6*cos⁡(〖30〗^0 )=0)┤

{█(X_A+11-R_B sin⁡(〖45〗^0 )=0@Y_A-2,660254+R_B cos⁡(〖45〗^0 )=0@-23,823085+3,674235R_B=0)┤

R_B=6,483823(кН)
X_A=-6,415245(кН)
Y_A=-1,924501(кН)

Ответ:
X_A=-6,415245(кН)
Y_A=-1,924501(кН)
R_B=6,483823(кН)
 
Задача 2

Дано
F = 10 кН, q = 2 кН/м, α = 300, β = 450, a = 3 м, b = 4 м, c = 2 м
--------------------------------------------------------------------------------------------
XA = ? YA = ? RK = ? XB = ? YB = ? MB = ?



Нагрузку q заменяем силой Q = q*a = 6 (кН), приложенной к середине отрезка.

Условие равновесия системы.

Сумма всех сил равна нулю и сумма всех моментов сил равна нулю.

Применим это условие к всей конструкции.

Силы RK действуют на обе части конструкции, AK и KB, они противоположно направленные, равны по величине находятся на одной линии действия по Третьему закону Ньютона. По этой причине сила RK не будет входить в уравнения.

{█(X_A+Qsin(α)+X_B-Fsin(β)=0@Y_A-Qcos(α)+Y_B-Fcos(β)=0@M_B-Q*(a/(2 cos⁡(α) ))+Y_B*(a+b)-F*((a+b+c)/cos⁡(α) )*sin⁡(〖90〗^0-α-β)=0)┤

Подставляем исходные данные.

{█(X_A+6*sin(〖30〗^0 )+X_B-10*sin(〖45〗^0 )=0@Y_A-6*cos(〖30〗^0 )+Y_B-10*cos(〖45〗^0 )=0@M_B-6*(3/(2 cos⁡(〖30〗^0 ) ))+Y_B*7-10*(9/cos⁡(〖30〗^0 ) )*sin⁡(〖15〗^0 )=0)┤

{█(X_A+X_B-4,071068=0@Y_A+Y_B-12,267220=0@M_B+Y_B*7-37,289569=0)┤

Теперь запишем условия равновесия к участку BK.


{█(X_B+R_K sin⁡(α)=0@Y_B-R_K cos⁡(α)=0@M_B-R_K*(a+b)tg(α)*sin⁡(α)=0)┤

{█(X_B+R_K sin⁡(〖30〗^0)=0@Y_B-R_K cos⁡(〖30〗^0)=0@M_B-R_K*7tg(〖30〗^0 )*sin⁡(〖30〗^0)=0)┤

X_B=-0,5R_K
Y_B=0,866025R_K
M_B=2,020726R_K

Подставляем в первую систему уравнений.

M_B+Y_B*7-37,289569=0

2,020726R_K+6,062178R_K-37,289569=0

6,082904R_K-37,289569=0
R_K=4,613388(кН)

Далее находим:
X_B=-2,306694(кН)
Y_B=3,995311(кН)
M_B=9,322392(кН)

Подставляем в первые 2 уравнения, получаем XA и YA

X_A+X_B-4,071068=0
X_A=6,377762(кН)

Y_A+Y_B-12,267220=0
Y_A=8,271909(кН)

Ответ:
X_A=6,377762(кН)
Y_A=8,271909(кН)
X_B=-2,306694(кН)
Y_B=3,995311(кН)
M_B=9,322392(кН)
R_K=4,613388(кН)
 
Задание К2. Определение скоростей точек твёрдого тела при плоскопараллельном движении

Для заданного положения плоского механизма определить скорости точек и угловые скорости звеньев механизма.



РЕШЕНИЕ

Дано
R1 = 12 см, OC = 18 см, AB = 10 см, BC = 35 см, α = 600, ωOC = 4 рад/с
---------------------------------------------------------------------------------------------
vA = ? vB = ? vC = ? vD = ? vE = ? ωBC = ? ω1 = ? ωDE = ?

Строим мгновенные центры скоростей звеньев механизма, для которых требуется определить угловые скорости.

Мгновенный центр скоростей катка A (ЦA) находится в точке его соприкосновения. Отсюда получаются известными направления скоростей точек A, B и D. По пересечениям перпендикуляров находим мгновенные центры скоростей ЦBC и ЦDE .

Далее:
vC = ωOC *OC = 72 (см/с)
(Ц_BC C)/(Ц_A A)=BC/AB=35/10=(Ц_BC C)/R_1 =(Ц_BC C)/12;Ц_BC C=35*12/10=42(см)

ω_BC=v_C/(Ц_BC C)=72/42=1,714286(c^(-1) )
Ц_BC B=√(〖〖(Ц〗_BC C)〗^2+(BC)^2 )=√(〖42〗^2+〖35〗^2 )=54,671748(см)
v_B=ω_BC*Ц_BC B=93,722996(см/с)

Ц_A B=√(〖12〗^2+〖10〗^2 )=15,620499(см)
ω_1=v_B/(Ц_A B)=6(c^(-1))