целые неотрицательные числа

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время проблемам преподавания математики в школе стали уделять больше внимания. Это связано с научно-техническим прогрессом и развитием наукоемких производств. Технические науки, среди которых, в последнее время, быстро развиваются и имеют огромное практическое значение, такие как информационные технологии, электроника и т.д., немыслимы без математического аппарата.
Основа для математической грамотности закладывается именно в школе, поэтому изучению вопросов, связанных с этим процессом, уделяется пристальное внимание. Математика является одним из опорных предметов школы. Она обеспечивает изучение других дисциплин. Требует от младших школьников волевых и умственных усилий, развитого воображения, концентрации внимания, математика развивает личность учащегося. Кроме того, изучение математики существенно способствует развитию логического мышления и расширяет кругозор младших школьников.
ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задача №1
Определение суммы, ее существование и единственность. Законы сложения с точки зрения теоретико-множественного подхода.
Вариант 5. Составьте прямую и косвенную задачу на разностное сравнение, чтобы они решались сложением. С теоретико-множественных позиций обоснуйте выбор операции.
Решение:
Суммой натуральных чисел a и b (с теоретико-множественных позиций) называют число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств A и B таких, что
a = n(А), b = n(В), т. е.
а + b = n (A) + n(B) = n (A B), если А В = ∅.
Теоретико-множественный смысл суммы нуля и натурального числа:
a = n(А), 0 = п (∅) и n (A ∅) = n (A) = а.
Законы сложения:
1. Коммутативный (переместительный)
a, b: a + b = b + a От перестановки слагаемых значение суммы не меняется.
2. Ассоциативный (сочетательный)
a, b, с: (a + b) + с = a + (b + c) Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно (достаточно) к первому числу прибавить сумму второго и третьего.
3. Следствия из ассоциативности и коммутативности сложения.
Эти законы позволяют произвольно группировать соседние слагаемые и произвольно менять местами слагаемые, что упрощает вычисления.
1. У Тани есть синие и красные шары. Синих шаров — 10. Красных на 2 шара больше, чем синих. Сколько красных шаров у Тани?
n(A) = 10, n(B) = 2, n(A B) = 12.
2. У Тани есть синие и красные шары. Синих шаров — 10. Их на 2 шара больше, чем красных. Сколько красных шаров у Тани?
n(A) = n(B) + 2, n(B) = n(A) – 2 = 10 – 2 = 8.
Детям нужно подчеркнуть различия в текстах задач. После обсуждения данной работы, учитель открывает на доске краткие записи данных задач и просит детей определить и обосновать, какая краткая запись относится к первой задаче, а какая ко второй. Если в процессе всей предыдущей работы еще не возник вопрос — одинаково или различно будет решение этих задач, то учитель задает его после анализа кратких записей.

Задача №2
Определение разности, ее существование и единственность. Теоретико-множественный смысл правил вычитания числа из суммы и суммы из числа.
Вариант 4. Какие теоретические положения лежат в основе рассуждений: «5 – 3 = 2, так как 5 это 2 и 3».
Решение:
Вычитанием натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а – b = с тогда и только тогда, когда b + с = а.
Число а – b называется разностью, а — уменьшаемым, в — вычитаемым.
Условие существования разности. Разность натуральных чисел а – b существует тогда и только тогда, когда b ˂ а.
Чтобы найти значение выражения 5 – 3, нужно определить такое число с, чтобы 3 + с = 5. Это есть число 2.

Задача №3
Определение произведения с точки зрения теоретико-множественного подхода, его существование и единственность. Законы умножения. Определение произведения через сумму.
Вариант 3. Может ли произведение двух целых неотрицательных чисел быть равным одному из них; каждому из них; нулю; единице?
Решение:
Произведением целых неотрицательных чисел а и b называется такое целое неотрицательное число ахb, которое удовлетворяет следующим условиям:
1) aхb = a + a + …+ a, b слагаемых при b>1
2) ах1 = а, при b=1
3) ах0 = 0, при b=0
Теоретико-множественный смысл этого определения следующий. Если множества А1, А2, …, Аb имеют по а элементов каждое и никакие два из них не пересекаются, то объединение содержит ахb элементов. Следовательно, произведение ахb — это число элементов в объединении в попарно непересекающихся множеств, каждое из которых содержит по а элементов. Равенства ах1=а и ах0=0 принимаются по условию.