Символический или комплексный метод расчета разветвленных электрических цепей переменного синусоидального тока средствами Matlab

Наибольшее практическое распространение в промышленности получил синусоидальный переменный ток, вырабатываемый на электростанциях электрическими машинами - синхронными генераторами.
Любая синусоидально изменяющаяся величина полностью определяется тремя параметрами: амплитудой, частотой, начальной фазой (в электрических цепях этими величинами помимо токов являются эдс и напряжения): i = Im*sin (ω*t + ψi), e = Em*sin (ω*t + ψe), u = Um*sin (ω*t + ψu) .
Для упрощения расчётов цепей переменного синусоидального тока американский ученый Штейнметц предложил изображать синусоидально изменяющиеся величины векторами на комплексной плоскости, причем, для единообразия, для момента времени t=0. Для этого момента времени вектор Im*e j(ω*t+ψ)= Im*ejψ= I ̇m, где I ̇m - комплексная величина, модуль которой равен Im ; ψ — угол, под которым вектор I ̇m проведен к оси +1 на комплексной плоскости, равный начальной фазе.
Величину I ̇m называют комплексной амплитудой тока i. Комплексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момента времени t=0. Комплексные амплитуды или векторы, изображающие синусоидальные функции времени, имеют другой смысл, чем векторы, определяющие физические величины в пространстве, к которым относятся векторы скорости, силы, напряженности электрического поля и т. д.
Сущность символического метода расчета цепей синусоидального тока. заключается в переходе от дифференциальных уравнений, составленных для мгновенных значений величин, к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и эдс. Мгновенные значения тока i заменяют комплексной амплитудой тока I ̇m .Мгновенное значение напряжения на резисторе uR, равное R*i, заменяют комплексом R*I ̇m , Мгновенное значение напряжения на индуктивности uL= L*di/dt заменяют комплексом j*I ̇m* ω*L, опережающим ток на 90º.
Мгновенное значение напряжения на конденсаторе uC = 1/С*∫▒〖i*dt〗
заменяют комплексом –j*I ̇m*ω*C, отстающим от тока на 90º.
Мгновенное значение эдс e заменяют комплексом E ̇m. Умножение числа на j-мнимую единицу- эквивалентно повороту вектора на +90º в положительном направлении на комплексной плоскости. За положительное обычно берут направление против часовой стрелки.
В таком случае операции с интегро-дифференциальными соотношениями между электрическими характеристиками цепи заменяются алгебраическими операциями над комплексными амплитудами, что сильно упрощает расчёты.
Для расчета цепей постоянного тока разработаны методы на основе первого и второго законов Кирхгофа, с помощью которых вести расчет проще, чем решать систему уравнений, составленных непосредственно по законам Кирхгофа. Но законы Кирхгофа применимы и для синусоидальных цепей переменного тока, поэтому все рассмотренные методы расчета цепей постоянного тока применимы и здесь. Нужно лишь вместо постоянного тока I использовать комплекс тока I ̇, вместо проводимости g - комплексную проводимость Y , вместо сопротивления R - комплексное сопротивление Z и вместо постоянной эдс E - комплексную эдс Е ̇.
Ток и напряжения на различных участках цепи синусоидального тока, как правило, по фазе не совпадают. Наглядное представление о фазовом расположении различных векторов дает векторная диаграмма токов и напряжений, вследствие чего с помощью такой диаграммы можно контролировать правильность производимых аналитических расчетов.
Система MATLAB является одной из наиболее мощных универсальных систем компьютерной математики, имеющей простой язык для вычислений с использованием комплексных чисел, что позволяет использовать её для выполнения этой работы.