Цель данной курсовой работы – изучение методов решения дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического или эллиптического типа, численных методов их интегрирования, а также численного решения одномерных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Первый раздел курсовой работы на примере однородного волнового уравнения посвящён методам решения простейших дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа таким как метод характеристик (Даламбера) и метод Фурье. Задачей данных методов является выделение единственного решения однородного волнового уравнения при соответствующей постановке начально-краевой (смешанной) задачи. В конце раздела на примере того же волнового уравнения колебаний струны с жестко закрепленными концами рассмотрен один из численных методов решения подобных уравнений (аппроксимация и решение по явной конечно-разностной схеме) и проведено сравнение данных численного исследования и аналитического решения.
Во втором разделе будут рассмотрены классические методы численного интегрирования и аналитического решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Для практической реализации численного решения заданного дифференциального уравнения используется метод прогонки (правой прогонки) и будут рассмотрены достаточные условия устойчивости получаемого решения. Кроме того, проводится сравнение результатов численного и аналитического решений.
Гиперболические задачи
1.1. Постановка задачи
Решить задачу о колебаниях стальной струны:
(∂^2 u)/(∂t^2 )=α^2 (∂^2 u)/(∂x^2 ); 0
A=5 мм, α=5000 м/с, l=3 м, T=5 с.
1.2. Теоретический материал
Гиперболические задачи сводятся к решению класса дифференциальных уравнений в частных производных, относимых к уравнениям гиперболического типа. Простейшим уравнением гиперболического типа является одномерное волновое уравнение для функции u(x,t), зависящей от одной пространственной координаты x и времени t и имеющим вид:
〖uʹ〗_tt-〖α^2 uʹ〗_xx=f(x,t). (1.1)
Данное уравнение используется для описания линейных волновых процессов различной физической природы, например, для описания малых поперечных колебаний струны, продольных колебаний тонкого стержня, при рассмотрении широкого круга волновых процессов акустики, электродинамики и т.д.
Для уравнений в частных производных, как правило, не ищут общие решения, а изучают различные постановки задач, включающие дополнительные условия, которые позволяют отобрать единственное решение, определяющее конкретный физический процесс. Одномерное волновое уравнение – это одно из немногих уравнений в частных производных второго порядка, для которого можно найти общее решение. Чтобы выделить единственное решение этого уравнения, чаще всего ставятся начальная (задача Коши) и начально-краевая (смешаная) задачи. Существуют различные методы их решения, например, метод характеристик (Даламбера), метод Фурье. Рассмотрим сначала первый из перечисленных, [1].
Задача Коши для однородного волнового уравнения формулируется следующим образом: найти решение однородного волнового уравнения:
〖uʹ〗_tt-〖α^2 uʹ〗_xx=0 (1.2)
в области –∞
├ u┤|_(t=0)=φ(x),–∞
Решение задачи Коши с данными (1.3) и (1.4) дается формулой Даламбера:
u(x,t)=1/2 (φ(x-αt)+φ(x+αt))+1/2α ∫_(x-αt)^(x+αt)▒ψ(ξ) dξ. (1.5)
Для описания колебаний ограниченной струны с жестко защемленными концами с простейшими граничными условиями ставится следующая начально-краевая задача: найти решение однородного волнового уравнения
〖uʹ〗_tt-〖α^2 uʹ〗_xx=0, 0
удовлетворяющее начальным
├ u┤|_(t=0)=φ(x),0≤x≤l, (1.7)
├ 〖uʹ〗_t ┤|_(t=0)=ψ(x),0≤x≤l, (1.8)
и граничным (1-го рода) условиям
├ u┤|_(x=0)=0,t≥0, (1.9)
├ u┤|_(x=l)=0,t≥0. (1.10)
Решение такой задачи можно искать также в виде формулы Даламбера (1.5).
1.3. Решение поставленной задачи
Для решения задачи о колебании струны с жестко закрепленными концами при условии, что начальные скорости точек струны равны нулю, а начальное
