Симметрия. Поворот

Задания для самостоятельной работы
по разделу «Поворот»

1. Две прямые пересекаются в точке. На третьей прямой, не содержащей эту точку, найдите такую точку, поворот вокруг которой отображает одну из данных прямых в другую.
2. Точки O и А не принадлежат прямой a. Найдите поворот вокруг точки O, при котором образом прямой a является прямая, содержащая точку A.
3. Треугольник получен из треугольника ABC поворотом на 90° вокруг некоторой точки O. Докажите, что медиана треугольника перпендикулярна медиане AM треугольника ABC.
4. На сторонах AB и BC треугольника ABC построены квадраты ABMN и BCPQ, причём квадрат ABMN и треугольник ABC расположены по разные стороны от (AB), а квадрат BCPQ и треугольник ABC – по одну сторону от (BC). Докажите, что |MQ|=|AC|, .
5. На сторонах AB и AC треугольника ABC построены равносторонние треугольники ABM и AСN, причём треугольник ABM расположен вне треугольника ABC, а треугольник ACN – с той же стороны от (AC), что и треугольник ABC. Докажите, что |MN|=|BC|.
6. AB и CD – две хорды концентрических окружностей с центром в точке O такие, что . Докажите, что |MN|=|BC|.
7. На продолжении сторон AB, BC, CD и DA квадрата ABCD соответственно за точки B, C, D и A отложены отрезки, конгруэнтные стороне квадрата. Докажите, что концы этих отрезков образуют квадрат.
8. ABCD – ромб, у которого . На сторонах AB и BC ромба отмечены точки M и N так, что |AM|=|BN|. Докажите, что треугольник MDN равносторонний.
Дано АВСD - ромб, AM=BN, ∠BAD=60°.
Найти ∠DMN, ∠MND, ∠NDM.
Решение: ∠В=∠D=180-60=120°, т.к. сумма углов ромба, прилегающих к одной стороне, составляет 180°.
Проведем диагональ ВD. По свойству диагонали ромба, ∠АВD=∠DBC=60°. Значит, ∠АDB=60°, т.к. сумма углов треугольника составляет 180°
ΔАМD=ΔBND (AM=BN, AD=BD, ∠МАD=∠NBD), значит, DM=DN.
∠NDM=∠BDM+∠BDN=∠BDM+∠MDA=∠ADB=60°
Следовательно, ΔMND - равносторонний, ∠DMN=∠MND=∠NDM=60°.

9. На сторонах AB и AC правильного треугольника ABC с центром O отложены отрезки AD и AE так, что |AD|+|AE|=|AB|. Докажите, что |OD|=|OE|, .
10. AB и DK – два перпендикулярных диметра окружности. На дуге AD отмечена точка M. Прямая, перпендикулярная прямой MO (O – центр окружности) и содержащая точку O, пересекает дугу DB в точке P. Докажите, что ∆AMD=∆DPB.
11. Постройте равносторонний треугольник так, чтобы одной его вершиной была данная точка P, другая принадлежала данной прямой a, третья – прямой b.
12. Даны две перпендикулярные прямые и точка, не принадлежащая им. Постройте равносторонний треугольник с вершиной в данной точке и с двумя другими вершинами на данных прямых.
13. Постройте равносторонний треугольник, имеющий одной своей вершиной данную точку A, а две другие вершины на данных параллельных прямых.
14. Даны две параллельные прямые a, b и точка A, не принадлежащая им. Постройте равнобедренный треугольник с данным углом α, вершина которого находилась в данной точке A, а вершины основания лежали на прямых a и b.
 

15. Даны три параллельные прямые a, b и c. Постройте равносторонний треугольник ABC, вершины которого лежат на данных прямых.

16. Постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат на трёх параллельных прямых, а центр – на четвёртой прямой, не параллельной трём данным.
17. В данный квадрат впишите равносторонний треугольник.