Трёхфазная электрическая цепь

Задача № 1
Расчет и анализ параметров трехфазных систем

Для трехфазной электрической цепи (рис. 1.1) по заданным параметрам и напряжению источника питания определить:
Токи в проводниках трехфазной линии при отключенной батарее конденсаторов;
Токи в проводниках трехфазной линии при включенной батарее конденсаторов;
Емкость конденсатора в фазе батареи конденсаторов;
Мощность потерь в проводах между батареей конденсаторов и трехфазной линией;
Полную мощность, потребляемую потребителями;
Построить векторные диаграммы токов и напряжений до и после компенсации реактивной мощности.
Таблица 1.1
Исходные данные к задаче 1
P_1, кВт cos⁡〖φ_1 〗 P_2, кВт cos⁡〖φ_2 〗 U_л, В R_ф, Ом
5 0,74 6,0 0,6 380 0,3

Решение.
1. Токи в проводниках трехфазной линии при отключенной батарее конденсаторов
Заменим схему на рис. 1.1. эквивалентной ей (рис. 1.2) с учетом того, что между некоторыми узлами отсутствует нагрузка. В итоге получим трехфазную линию с тремя параллельно соединенными трехфазными цепями при равномерной нагрузке фаз в каждой из них. Линейные напряжения U_AB, U_BC и U_CA в каждой из цепей одинаковы по модулю равному U_л=380 В и сдвинуты относительно друг друга на 120°. При этом в двух цепях нагрузка соединена звездой, а в одной – треугольником.
Для компенсации реактивной мощности в одну из трехфазных цепей с нагрузкой, соединенной звездой, включена батарея конденсаторов одинаковой емкости в каждой из фаз. Цепь снабжена выключателем, отсоединяющим от линии все три фазы одновременно. Рассчитаем сначала токи в проводниках трехфазной линии при отключенной батарее конденсаторов, а также напряжения и сопротивления для каждой из остающихся подключенными к линии цепей.
1.1. Первая цепь (соединение звездой)
Поскольку нагрузка равномерна по условию (Z_A1=Z_B1=Z_C1=Z_1) и I_ф1=I_л1, абсолютное значение тока в фазе можно вычислить таким образом, [1]:
I_ф1=I_л1=P_1/(√3 U_л cos⁡〖φ_1 〗 )=(5∙〖10〗^3)/(√3∙380∙0,74)≈10,27 А.
Активное сопротивление в фазе:
R_ф1=P_1/(3∙〖I_ф1〗^2 )=(5∙〖10〗^3)/(3∙〖10,27〗^2 )≈15,81 Ом.
Полное сопротивление фазы первой цепи по модулю:
Z_ф1=R_ф1/cos⁡〖φ_1 〗 =15,81/0,74≈21,37 Ом.
Величина угла между векторами активного и полного сопротивлений:
φ_1=arccos(0,74)∙180/π≈0,738 рад=42,27°
Комплекс полного сопротивления фазы первой цепи:
▁Z_1=Z_ф1 (cos⁡〖φ_1 〗+j sin⁡〖φ_1 〗 )=Z_ф1 (cos⁡〖φ_1 〗+j√(1-cos^2⁡〖φ_1 〗 )),
▁Z_1=21,37∙(0,74+j√(1-〖0,74〗^2 ))≈15,81+14,37j=21,37∠42,27°=
=21,37e^(42,27j∙π/180), где j=√(-1).
Комплексы фазных напряжений первой цепи:
▁U_A1=U_л/√3 e^(0j∙π/180)=380/√3 e^(0j∙π/180)≈219,39,|▁U_A1 |=219,39 В,arg(▁U_A1 )∙180/π=0°;
▁U_B1=U_л/√3 e^(-120j∙π/180)=380/√3 e^(-120j∙π/180)≈-109,70-190,00j,
|▁U_B1 |=√((Re(▁U_B1))^2+(Im(▁U_B1))^2 )=√((-109,70)^2+(-190,00)^2 )≈219,39 В,
arg(▁U_B1 )∙180/π≈-120°;
▁U_C1=U_л/√3 e^(120j∙π/180)=380/√3 e^(120j∙π/180)≈-109,70+190,00j,
|▁U_C1 |=√((Re(▁U_C1))^2+(Im(▁U_C1))^2 )=√((-109,70)^2+〖190,00〗^2 )≈219,39 В,
arg(▁U_C1 )∙180/π≈120°.
Комплексы фазных токов первой цепи:
▁I_A1=▁U_A1/▁Z_1 =(219,39 )/(15,81+14,37j)≈7,60-6,91j,
|▁I_A1 |=√((Re(▁I_A1))^2+(Im(▁I_A1))^2 )=√(〖7,60〗^2+(-6,91)^2 )≈10,27 А,
arg(▁I_A1 )∙180/π≈-42,27°;
▁I_B1=▁U_B1/▁Z_1 =(-109,70-190,00j )/(15,81+14,37j)≈-9,78-3,13j,
|▁I_B1 |=√((Re(▁I_B1))^2+(Im(▁I_B1))^2 )=√((-9,78)^2+(-3,13)^2 )≈10,27 А,
arg(▁I_B1 )∙180/π≈-162,27°;
▁I_C1=▁U_C1/▁Z_1 =(-109,70+190,00j )/(15,81+14,37j)≈2,18+10,03j,
|▁I_C1 |=√((Re(▁I_C1))^2+(Im(▁I_C1))^2 )=√(〖2,18〗^2+〖10,03〗^2 )≈10,27 А,
arg(▁I_C1 )∙180/π≈77,73°.
Комплексы линейных напряжений линии электроснабжения:
▁U_AB=▁U_A1-▁U_B1=219,39—109,70-190,00j =329,09+190,00j,
|▁U_AB |=√((Re(▁U_AB))^2+(Im(▁U_AB))^2 )=√(〖329,09〗^2+〖190,00〗^2 )≈380,00 В,
arg(▁U_AB )∙180/π≈30,00°;
▁U_BС=▁U_B1-▁U_C1=-109,70-190,00j—109,70+190,00j =
=-380,00j
|▁U_BC |=√((Re(▁U_BC))^2+(Im(▁U_BC))^2 )=√(0^2+(-380,00 )^2 )=380,00 В,