Основы финансовых вычислений

1 Начисление сложных процентов несколько раз в году

Под процентными деньгами или процентами, понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигации и т.д.
Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода зафиксированный отрезок времени — отношение дохода (процентных денег) к сумме долга. Она измеряется в виде десятичной или обыкновенной дроби или в процентах. При выполнении расчетов процентные ставки обычно измеряются в десятичных дробях.
В финансовом анализе процентная ставка применяется как измеритель степени доходности (эффективности) любой финансовой, кредитной, инвестиционной или коммерческо-хозяйственной деятельности вне зависимости от того, имел место или нет факт непосредственного инвестирования денежных средств и процесс их наращения.
Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления. В качестве такого периода принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками.
Проценты согласно договоренности между кредитором и заемщиком выплачиваются по мере их начисления или присоединяются к основной сумме долга (капитализация процентов).
Процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов называют наращением, или ростом, этой суммы. В этом случае процентные ставки называют ставками наращения.
С экономической точки зрения процент представляет собой плату за использование денежных средств одного лица (кредитора) другим лицом (заемщиком, дебитором), выраженную в сотых долях от исходной суммы.
Основная единица времени (год, квартал, месяц, день) называется базовой.
Временной интервал, в конце (а иногда - в начале) которого начисляются проценты за этот интервал, называется конверсионным периодом или периодом начисления.
Если длина конверсионного периода совпадает с базовой единицей времени, то соответствующая процентная ставка называется эффективной. Кредитор является инвестором, а предоставленные им заемщику средства - капиталом.
При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки. Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени.
При дисконтировании (сокращении) сумма денег, относящаяся к будущему, уменьшается на величину соответствующего дисконта (скидки). Соответственно говорят, что применяют дисконтные, или учетные ставки.
В финансовой литературе проценты, полученные по ставке наращения, принято называть декурсивными, по учетной ставке — антисипативными.
Для начисления простых процентов применяют постоянную базу начисления. Когда за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования, используют сложные процентные ставки. В этом случае база начисления последовательно изменяется, то есть проценты начисляются на проценты.
Процентные ставки могут быть фиксированными (в контракте указываются их размеры) или плавающими. В последнем случае указывается не сама ставка, а изменяющаяся во времени база (базовая ставка) и размер надбавки к ней — маржи. Размер маржи определяется рядом условий, финансовым положением заемщика, сроком кредита и т.д. Она может быть постоянной или переменной на протяжении срока ссудной операции.
При последовательном погашении задолженности возможны два способа начисления процентов. Согласно первому процентная ставка (простая или сложная) применяется к фактической сумме долга. При втором способе, который применяется в потребительском кредите, простые проценты начисляются сразу на всю сумму долга без учета последовательного его погашения.
В практических расчетах применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные интервалы времени (год, полугодие и т.д.).
Если наращение или дисконтирование производится непрерывно, за бесконечно малые промежутки времени, применяют непрерывные проценты. Они используются в аналитических и теоретических финансовых расчетах.
В средне- и долгосрочных финансовых и коммерческих операциях проценты могут выплачиваться не сразу после их начисления, а присоединяться к сумме долга. В этом случае для наращения применяют сложные проценты.
При начислении сложных процентов (compound interest) принимается такой способ, при котором за базу начисления процентов принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования. В этом случае часто говорят, что проценты начисляются на проценты.
В отличие от простых процентов база для начисления сложных процентов не остается постоянной, а увеличивается с каждым шагом во времени. Наращение по сложным процентам представляет собой последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления.
Наращенная сумма по сложным процентам рассчитывается по формуле

S=Р(1+r)t,

где t – количество периодов начисления.
Существуют различные методы начисления процентов. Основное их различие сводится к определению исходной суммы (базы), на которую начисляются проценты. Эта сумма может оставаться постоянной в течение всего периода или меняться. В зависимости от этого различают метод начисления по простым и сложным процентам.
Если проценты начисляются т раз в году, то для разового начисления процентов используется так называемая периодическая ставка (иногда ее называют релятивной). Период, за который начисляются проценты, называют конверсионным. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j – годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления. При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j/m .
Если срок ссуды составляет n лет, то получаем выражение для определения наращенной суммы:

Smn=P(1+j/m)^mn

где mn – общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.
Сложная процентная ставка— это такая ставка, при которой процент начисляется на постоянно нарастающую базу с учетом процентов, начисленных в предыдущие периоды («проценты на проценты»). При использовании сложных ставок процентов процентные деньги, начисленные после каждого периода начисления, присоединяются к сумме долга. Таким образом, база для начисления сложных процентов в отличие от использования простых процентов изменяется в каждом периоде начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, называется капитализацией процентов. Иногда этот метод называют «процент на процент».
В современных условиях проценты капитализируются обычно не один, а несколько раз в году – по полугодиям, кварталам, ежемесячно. Для расчета
процентов и наращенной суммы в этом случае пользуются модифицированной формулой.

FV=PV*(1+r)n

Параметр n в этих условиях будет означать число интервалов начисления, а под ставкой r следует понимать ставку за соответствующий период (не годовую!).
На практике, как правило, в контрактах обычно фиксируется не ставка за интервал начисления, а годовая ставка, которая называется номинальной. Одновременно указывается период начисления процентов. Например, «18% годовых с поквартальным начислением» процентов.
Формулу наращения теперь можно представить следующим образом:

FV=PV*(1+j/m)N (2),

где m – число интервалов начисления в году,
N = n * m общее число интервалов начисления,
n – продолжительность периода начисления в годах,
j - номинальная ставка наращения, выраженная в долях единицы.
При этом:

(1+j/m)N=FV/PV (3) - коэффициент наращения.
I=FV-PV=PV[(1+j/m)N-1] (4) - сумма начисленных процентов.

Чем чаще начисляются сложные проценты, тем быстрее идет процесс наращения, при этом наибольший эффект в увеличении темпа наращения дает переход от ежегодной капитализации к полугодовой, а наименьший – переход от ежемесячной к ежедневной.