Цикл расчетно-графических работ по статике , кинематике и динамике

Задача С1.
Жесткая рама закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена к шарнирной опоре на катках.
В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом Р = 25 кН. На раму действуют пара сил с моментом М = 60 кНм и две силы, значения, направления и точки приложения которых указаны в таблице
Определить реакции связей в точках А, В, вызываемые действующими нагрузками. При окончательных расчетах принять а = 0,5 м.
Решение
Выбираем объектом исследования плоскую балку AKDLHCEB (рис. 1).
Рис. 1
Изображаем активные силы, приложенные к объекту исследования (рис. 1):
1. Пару сил с моментом М = 60 кН·м.
2. Силу F1 = 10кH.
3. Силу F4 = 40кH.
Заменяем связи, наложенные на объект исследования, их реакциями. Опору в точке А заменяем реакциями RAx; RAy, а опору в точке В заменяем реакцией RB.
Составим уравнение равновесия моментов относительно точки А:

Задача К1

Движение точки в плоскости ху задано уравнениями: х = f1(t), у = f2(t), где х и у - в метрах, t — в секундах.
Найти и изобразить траекторию точки. Определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения в момент времени t = 1 с и радиус кривизны в соответствующей точке в этот же момент времени.
х= f1(t) = 2cos(πt/6) - 3
y= f2(t) = -3sin2(πt/6)

Решение

Для определения траектории точки исключим из уравнений время t:
cos2(πt/6) = (х + 3)2/4
sin2(πt/6) = -у/3
sin2(πt/6) + cos2(πt/6) = 1
((х + 3)2/4) – у/3 = 1
у = (3(х + 3)2/4) - 3
Траектория точки парабола, с вершиной (-3, -3).
Найдем координаты точки в момент начала движения tнач = 0.

Задача К2

Пластина вращается вокруг неподвижной оси по закону φ= φ(t). Положительное направление отсчета угла φпоказано на рисунках дуговой стрелкой. Ось вращения пластины вертикальна. По пластине движется точка М согласно закону s = OM= s(t). Точка М показана в положении, при котором s = ОМ положительно. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1с.

φ= φ(t) = 6t3 -12t2
R = 1,0 м
s = s(t) = (π/3)R(2t2 – 1)
Решение
Определим положение точки М на пластине при t =1 c.
s = OM = (π/3)R(2·12 – 1) = (π/3)R
Тогда ∠ОCМ=S/R=π/3
Так как точка участвует в нескольких движениях, то следует определить ее составные движения.

Задача Д1

Тело D, имеющее массу m, получив в точке А начальную скорость V0, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости. На участке АВ на тело, кроме силы тяжести, действуют постоянная сила Q, направленная вдоль трубы, и сила трения. В точке В тело, не изменяя величины своей скорости, переходит на участок ВС и движется, скользя по трубе. При этом на тело, кроме силы тяжести, действуют силы трения и переменная сила F, величина проекции которой Fx на ось х задана в табл. Там же приведены величины m, V0, Q, расстояние между точками А и В (l = АВ) или τАВ – время движения тела от точки А до точки В и коэффициент трения f тела о трубу. Считая тело материальной точкой, необходимо определить закон движения х = (t) на участке ВС.
Решение
Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой.
Изображаем груз в произвольном положении и действующие на него силы Р, R, Q, N (рис. 5). Проводим ось Аz и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось.

Задача Д3

Механическая система состоит из грузов 3 и 4 (коэффициент трения грузов о плоскость f = 0,1), сплошного однородного цилиндрического катка 5 и ступенчатых шкивов 1 и 2 с радиусами ступеней R1 = 0,3 м; r1 = 0,1 м; R2 = 0,2 м; r2 = 0,1 м (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Под действием силы F = F(S), зависящей от перемещения S точки приложения силы, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 1 и 2 действуют постоянные моменты сил сопротивлений, равные, соответственно, М1 и М2.
Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы F равно S. Искомая величина указана в столбце «Найти» табл., где V3 – скорость груза 3; VC5 – скорость центрамасс катка 5; ω1 – угловая скорость тела 1 и т.д.
Решение

Механическая система, состоящая из четырех тел 1, 2, 3, 5 (рис. 6), приводится в движение из состояния покоя телом 5.
Теорема об изменении кинетической энергии:
T – T0 = ΣA,
где Т0 и Т — кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях;
ΣA — сумма работ всех сил, приложенных к системе.
Так как в начальный момент времени механическая система находилась в покое, тоее начальная кинетическая энергия равна нулю, то есть T0 = 0.
T = ΣA
Определим кинетическую энергию механической системы в конечном ее положении.

Задание 1.
Из условия прочности подобрать поперечное сечение стального ступенчатого стержня в виде прямоугольника с отношением сторон b/h =0,25; округлить полученные в результате расчёта размеры b и h по нормальному ряду размеров. Схема нагружения стержня показана на рис. Вычислить напряжение в опасном сечении. Построить эпюры напряжений по высоте опасного сечения. Определить перемещение свободного сечения стержня и построить эпюру перемещений.
Исходные данные: F = 20 кН; q = 20 кН/м; М = 40 кНм; m = 20 кНм/м; а = 4 м; b = 3 м; с = 4 м; [σ] = 200 МПа; [τ] = 100 МПа; Е = 2·105 МПа; G = 8·104 МПа.
Решение
Заданный брус имеет три участка нагружения. Границами участков нагружения являются места приложения внешних сил и изменения размеров поперечного сечения (рис. 7).
Возьмем произвольное сечение на участке 1 и, отбросив левую часть бруса, рассмотрим равновесие оставленной части. На оставленную часть действует искомая сила N1 и внешняя распределенная нагрузка3q.Составляя для оставленной части бруса уравнение равновесия, получим:

Задание 2.
Из условия прочности подобрать поперечное сечение круглого стального вала; полученный в результате расчёта диаметр округлить по нормальному ряду размеров. Схема нагружения вала показана на рис. Вычислить напряжение в опасном сечении и показать эпюру этого напряжения. Определить угол закручивания свободного сечения вала и построить его эпюру.
Исходные данные: F = 20 кН; q = 20 кН/м; М = 40 кНм; m = 20 кНм/м; а = 4 м; b = 3 м; с = 4 м; [σ] = 200 МПа; [τ] = 100 МПа; Е = 2·105 МПа; G = 8·104 МПа.
Решение
Заданный брус имеет три участка нагружения (рис. 9).
Возьмем произвольное сечение на участке 1 и, отбросив левую часть бруса, рассмотрим равновесие оставленной части. На оставленную правую часть действуют моменты: Т1 и М. Следовательно, получим:

Задание 3.
Из условия прочности подобрать круглое поперечное сечение консольной стальной балки. Вычислить напряжение в опасном сечении балки и построить эпюру напряжения. Схема нагружения балки показана на рис.
Исходные данные: F = 20 кН; q = 20 кН/м; М = 40 кНм; m = 20 кНм/м; а = 4 м; b = 3 м; с = 4 м; [σ] = 200 МПа; [τ] = 100 МПа; Е = 2·105 МПа; G = 8·104 МПа.
Решение
Составим расчетную схему.
Проведем сечение 1 на первом грузовом участке и рассмотрим правую часть стержня.
Уравнение равновесия по силам:
Q = -F = -20 кН
Уравнение равновесия для моментов.
М(z) = Fz1
Hайдем значения функции М(z) на границах грузового участка:

Задание 4.
Из условия прочности подобрать поперечное сечение балки на двух опорах в виде двутавра. Вычислить действительные нормальные и касательные напряжения, построить их эпюры для опасного сечения балки. Определить прогиб по середине длины балки и углы поворота на опорах. Схема нагружения балки показана на рис.
Исходные данные: F = 20 кН; q = 20 кН/м; М = 40 кНм; m = 20 кНм/м; а = 4 м; b = 3 м; с = 4 м; [σ] = 200 МПа; [τ] = 100 МПа; Е = 2·105 МПа; G = 8·104 МПа.
Решение
Составим расчетную схему. Для этого опоры заменим реакциями опор: RA, и RB.
Определим опорные реакции RA и RB. Для этого составим уравнения равновесия всего стержня по моментам: