Экономико-математическое моделирование в менеджменте

Производственные функции и их использование при моделировании

Производственная функция (функция производства) представляет уравнение, связывающее переменные величины затрат (ресурсов, факторов производства) с величиной выпуска продукции (в дальнейшем просто «выпуска»). Понятия выпуска и факторов производства конкретизируются в зависимости от характера и масштаба рассматриваемой производственной единицы, цели исследования, доступной информации. Например, выпуск может измеряться в натуральных или стоимостных показателях, в реальных или потенциальных величинах. А ресурсы могут рассматриваться либо фактически затраченные, либо имеющиеся в распоряжении на начало периода производства. Число факторов в производственной функции не обязательно ограничивается заранее, однако требуется их сопоставимость по характеру воздействия на выпуск и уровню агрегирования.
В экономическом моделировании наиболее широко представлены макроэкономические производственные функции. Эти функции являются агрегатными производственными функциями, характеризующими зависимость показателя совокупного общественного продукта или иного обобщающего показателя от основных факторов производства. В качестве основных факторов производства обычно рассматриваются объем капитала, рабочей силы, а также земли. В ряде макроэкономических производственных функций в качестве отдельного фактора учитывается также воздействие научно-технического прогресса. Макроэкономические производственные функции исследуются самостоятельно или включаются в сложные эконометрические модели.
Формально производственная функция может быть записана следующим образом:

где Y – выпуск;
хj – объем j-го ресурса.
Предполагается, что функция f(x) удовлетворяет некоторым условиям, вытекающим из общеэкономических соображений. Числовые значения параметров находятся в результате обработки, имеющейся в распоряжении исследователя информации. Это могут быть результаты пространственных выборок или временные ряды. Параметры функции оцениваются, в основном, методами корреляционно-регрессионного анализа.
Свойства, которыми должна обладать производственная функция (не всеми, но хотя бы частью):
· Выпуск невозможен при отсутствии ресурсов;
· При увеличении затрат всех ресурсов выпуск также растет;
· При увеличении затрат любого из ресурсов, при неизменном количестве остальных, выпуск не сокращается;
· С увеличением затрат любого из ресурсов, при неизменном количестве остальных, эффективность вовлечения в производство дополнительной его единицы не возрастает (принцип убывающей отдачи последовательных вложений);
· Эффективность затрат любого из ресурсов при увеличении затрат какого-либо другого ресурса и неизменном количестве остальных, не снижается;
· − строго квазивогнута;
· − строго вогнута (выпукла вверх).
· однородна степени , т. е. , при >1 с увеличением масштабов производства его эффективность растет (растущая отдача или экономия от масштаба), при < 1 − падает (падающая отдача или потери от масштаба), при =1 – не меняется. В одних случаях значение оценивается статистически, в других на него накладываются априорные ограничения. В подавляющем большинстве малоразмерных моделей экономического роста предполагается, что = 1.
Нужно помнить, что не все производственные функции и не при всех значениях входящих в них переменных обладают перечисленными свойствами. Иногда требуется, чтобы производственная функция обладала дополнительными свойствами.
С помощью производственной функции рассчитывают следующие характеристики:
· предельная производительность (отражает насколько увеличивается выпуск при увеличении затрат фактора j на одну единицу, при неизменном количестве остальных факторов);
· частная эластичность выпуска по фактору j (отражает насколько процентов увеличится выпуск при увеличении затрат фактора j на 1% и при неизменном количестве остальных факторов);
· эластичность производства (показывает, на сколько процентов увеличится выпуск при увеличении на 1% затрат каждого фактора);
· предельная норма замены (замещения) фактора j фактором i (этот показатель определяет количество фактора j, которое требует требуется для замены одной единицы фактора j при сохранении на неизменном уровне объема выпуска и количества остальных факторов;
· эластичность замены (замещения) фактора j фактором i (показатель характеризует возможность замены одного фактора другим).
Таким образом, с помощью производственных функций изучается взаимозаменяемость факторов производства, которая может быть неизменной либо переменной (т. е. зависимой от объемов ресурсов).
Соответственно, функции делят на два вида:
· с постоянной эластичностью замены (CES − Constant Elasticity of Substitution);
· с переменной эластичностью замены (VES − Variable Elasticity of Substitution).
Далее рассмотрим основные формы представления производственной функции.
Линейная:
Леонтьевская:
Кобба-Дугласа:
С постоянной эластичностью замещения:
Наиболее популярной и в теоретических, и в прикладных исследованиях является функция Кобба-Дугласа: она сочетает простоту математической записи, очевидную экономическую интерпретацию и относительную легкость определения численных значений ее параметров. Особенность этой мультипликативно-степенной формы производственной функции состоит в том, что если один из сомножителей равен нулю, то результат обращается также в нуль. Это свойство соответствует тому факту, что в большинстве случаев для производства необходимы все факторы и при отсутствии одного из них выпуск продукции невозможен.