Теория начального математического образования

Задания для самостоятельного выполнения
по теме «Множества и операции над ними. Соответствия между двумя множествами»

1. Запишите 3 элемента каждого множества:
а) учебных предметов, изучаемых в начальной школе - Математика, окружающий мир, Чтение.
б) чётных натуральных чисел- 2; 4; 6;
в) четырёхугольников - квадрат, прямоугольник, ромб.

2. Укажите среди высказываний верные:
а) 100 N - г) 102 N
б) - 8 Z д) 0 N
в) -12 N е) 5,36 R
а –верно
б – верно
в – верно
г –неверно
д – неверно
е - неверно

Р — множество натуральных чисел, больших 7 и меньше 14. Какие из чисел 13, 10, 14, 7 принадлежат этому множеству, а какие не принадлежат. Ответ запишите, используя знаки или 
Ответ:
13 ∈ P
10 ∈ P
5 ∉ P
7 ∉ P
14 ∉ P

4. Укажите характеристическое свойство множества:
а) {а, е, ё, и, о, у, э, ю, я, ы};
б) {78, 76, 74, 72, 70};
в) {111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999}.
Ответ:
а) Гласные буквы русского алфавита
б) Нечётные числа между 20 и 30
в) трёхзначные числа, в записи которых присутствуют только одинаковые цифры.

Множество C состоит из квадрата, круга и треугольника. Принадлежат ли этому множеству диагональ квадрата и центр круга?
Ответ:
Диагональ - отрезок, а центр круга - точка - не входят.

Изобразите с помощью кругов Эйлера отношения между множествами C и D, если:
а) C — множество двузначных чисел, D — множество четных;
б) C — множество двузначных чисел, D — множество трехзначных чисел;
в) C — множество двузначных чисел, D — множество натуральных чисел, не меньших 10.
Ответ:


7. Какое из данных множеств является подмножеством другого?
а) A — множество натуральных чисел, кратных 2, B — множество натуральных чисел, кратных 6, C — множество натуральных чисел, кратных 3;
б) A — множество треугольников, B — множество прямоугольных треугольников, C — множество остроугольных треугольников.
Ответ:

А) Если число кратно 2, оно может быть не кратно 3 и 6, например, число 10.
Если число кратно 6, оно обязательно кратно 2 и 3: 6=2*3
Если число кратно 3, оно может быть не кратно 2 и 6, например, число 9.
Следовательно, множество В является подмножеством и множества А, и множества С.
Ответ: B⊂A; B⊂C
Б) Если треугольник прямоугольный, он не может быть остроугольным, но он треугольник.
Если треугольник остроугольный, он не может быть прямоугольным, но он треугольник.
Следовательно, множество В является подмножеством множества А, и множество С является подмножеством множества А.
Ответ: B⊂A; C⊂A

8. Найдите пересечение множеств A и B, если:
б) A = {26, 39, 5, 58, 17, 81}, B = {17, 26, 58};
в) A = {26, 39, 5, 58, 17, 81}, B = {17, 26, 58, 5, 39, 81}.
Ответ:
А) A∩B={17,2,58}

Б) A∩B={5,17,26,39,58,81}
9. Найдите объединение множеств А и В, если:
а) A={a, s, d, f, g, h, j, k, l}, B={w, s, e, d, f, r};
б) A={2, 4, 6, 8, -3, 5, -8}, B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
в) А – множество ромбов, В – множество прямоугольников.
Ответ:
А) Aᴗ B= {a, w, s, e, d, f, g, h, j, k, l, r }
Б) A∩B = {-8, -3, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
в) множество параллелограммов


10. Найдите разность множеств А и В, если
а) А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, В = {2, 4, 6, 8, 10};
б) А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, В = {1, 3, 5};
в) А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, В = {6, 2, 3, 4, 5, 1}.
Ответ:
А) А \ B = {1,3,5}
Б) А \ B = (2, 4, 6)
В) А \ B = 0

11. Решите задачи, используя графы и таблицы.
а) В лесу проводились соревнования по бегу. Когда у волка спросили, как распределились места между победителями, он ответил, что первое место занял медведь или лиса, второе место занял заяц, а третье место – медведь. Но оказалось, что все эти утверждения ложные. Какое место заняли медведь, лиса и заяц?
Решение:

В данной задаче применим метод графов. Данную задачу можно решить при помощи графа. Для этого элементы заданных множеств изображают точками, а соответствия между ними – отрезками. Если между элементами множеств нет рассматриваемого соответствия, то их соединяют штриховыми линиями.

Ответ: на первом месте — заяц, на втором — медведь, на третьем — лиса.
б) Три друга – Алеша, Боря и Витя учатся в одном классе. Один из них ездит домой из школы на автобусе, один на трамвае, один – на троллейбусе. Однажды после уроков Алеша пошел проводить своего друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадку!» Кто из друзей на чем ездит домой?
Решение.
В задаче рассматривается два множества: множество учащихся и множество видов транспорта. Между этими множествами требуется установить взаимно-однозначное соответствие.
Выделяем условия задачи. Их два:
1. Алеша провожает друга до остановки автобуса.
2. Крик из троллейбуса: «Боря, ты забыл в школе тетрадку!»
Нам известно, что Алёша не поехал на автобусе. А когда из троллейбуса крикнули Боре, мы узнали, что Алёша не ехал на троллейбусе, значит он ехал на трамвае.
Если из троллейбуса кричали Боре, то значит это не он ехал на троллейбусе.
Боря ездит на автобусе, так как на троллейбусе ездит Витя, а на трамвае Алёша.
Алёша-на трамвае.
Боря-на автобусе.
Витя-на троллейбусе.
Автобус Троллейбус Трамвай
Алеша - - +
Боря + - -
Витя - + -

12. Решите задачу, используя круги Эйлера.
Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?
Решение:


Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.
Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Задания для самостоятельного выполнения
по теме «Бинарные отношения на множестве»

1. Определите свойства следующих отношений:
а) «прямая x пересекает прямую y» (на множестве прямых);

Ry=«прямая x пересекает прямую y» (на множестве прямых).
Это отношение: Рефлексивное, так как «прямая x пересекает прямую x» выполняется для любой прямой (она пересекает себя в каждой точке);
Симметрическое, так как из того, что «прямая x пересекает прямую y» следует, что
«прямая y пересекает прямую x» для любых прямых x,y;
Также можно заметить, что это отношение не является тождественным, транзитивным и
полным.
б) «число x больше числа y на 2» (на множестве натуральных чисел);
xRy=«число x больше числа y на 2» (на множестве натуральных чисел).
Это отношение: Антирефлексивное, так как ни для одного элемента из множества натуральных чисел не выполняется «число x больше числа x на 2»;
Антисимметрическое, так как для любых элементов x,y из множества натуральных чисел