Контрольная работа по Методы оптимизации на тему Решение задач по дисциплине

Вариант 5
Ситуация 1
По требованию рабочих некоторой компании проф¬союз ведет с ее руководством переговоры об организации горячих обедов за счет компании. Профсоюз, представляющий интересы рабочих, добивается того, чтобы обед был как можно более качест¬венным и, следовательно, более дорогим. Руководство компании имеет противоположные интересы. В конце концов стороны до¬говорились о следующем. Профсоюз выбирает одну из шести фирм (Ф1  Ф6), поставляющих горячее питание, а руководство компании - набор блюд из семи возможных вариантов (B1  B7). После подпи¬сания соглашения профсоюз формирует следующую платежную матрицу, элементы которой представляют стоимость набора блюд:

Определите оптимальные стратегии игроков и цену игры.
Вопросы:
1. Чему равна цена игры?
2. Какая фирма наиболее предпочтительна для профсоюза?
3. Какой набор руководство компании считает наиболее «вы¬годным»?
4. Чему равна нижняя цена игры?

Решение
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 2.3, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 3.3.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 2.3 ≤ y ≤ 3.3. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).
2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы.
Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.
Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если aij ≥ akj для всех j Э N и хотя бы для одного j aij > akj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) – доминирующая, k-я – доминируемая.
Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э M aij ≤ ail и хотя бы для одного i aij < ail. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю – доминируемой.
В платежной матрице отсутствуют доминирующие строки.
В платежной матрице отсутствуют доминирующие столбцы.
Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.
Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.
Находим решение игры в смешанных стратегиях.
Запишем систему уравнений.
Для игрока I
2.3p1+4.2p2+1.2p3+4.2p4+3.2p5+1.7p6 = y
4.3p1+2.2p2+3.7p3+1.7p4+3.2p5+4.2p6 = y
3.3p1+2.7p2+2.7p3+2.2p4+2.9p5+2.5p6 = y
2.8p1+4.3p2+5.2p3+1.4p4+2.2p5+3.2p6 = y
5.2p1+2.2p2+1.2p3+2.9p4+6.2p5+4.7p6 = y
2.9p1+3.7p2+1.7p3+3.2p4+2.4p5+2.7p6 = y
3.3p1+2.7p2+3.7p3+1.2p4+1.7p5+2p6 = y
p1+p2+p3+p4+p5+p6 = 1
Для игрока II
2.3q1+4.3q2+3.3q3+2.8q4+5.2q5+2.9q6+3.3q7 = y
4.2q1+2.2q2+2.7q3+4.3q4+2.2q5+3.7q6+2.7q7 = y
1.2q1+3.7q2+2.7q3+5.2q4+1.2q5+1.7q6+3.7q7 = y
4.2q1+1.7q2+2.2q3+1.4q4+2.9q5+3.2q6+1.2q7 = y
3.2q1+3.2q2+2.9q3+2.2q4+6.2q5+2.4q6+1.7q7 = y
1.7q1+4.2q2+2.5q3+3.2q4+4.7q5+2.7q6+2q7 = y
q1+q2+q3+q4+q5+q6+q7 = 1
Рассмотрим игру двух лиц, интересы которых противоположны. Такие игры называют антагонистическими играми двух лиц. В этом случае выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, и можно описать только одного из игроков.
Предполагается, что каждый игрок может выбрать только одно из конечного множества своих действий. Выбор действия называют выбором стратегии игрока.
Если каждый из игроков выбрал свою стратегию, то эту пару стратегий называют ситуацией игры. Следует заметить, каждый игрок знает, какую стратегию выбрал его противник, т.е. имеет полную информацию о результате выбора противника.
Чистой стратегией игрока I является выбор одной из n строк матрицы выигрышей А, а чистой стратегией игрока II является выбор одного из столбцов этой же матрицы.
1. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.
Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.
Игроки B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 a = min(Ai)
A1 2.3 4.3 3.3 2.8 5.2 2.9 3.3 2.3
A2 4.2 2.2 2.7 4.3 2.2 3.7 2.7 2.2
A3 1.2 3.7 2.7 5.2 1.2 1.7 3.7 1.2
A4 4.2 1.7 2.2 1.4 2.9 3.2 1.2 1.2
A5 3.2 3.2 2.9 2.2 6.2 2.4 1.7 1.7
A6 1.7 4.2 2.5 3.2 4.7 2.7 2.0 1.7
b = max(Bi) 4.2 4.3 3.3 5.2 6.2 3.7 3.7

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 2.3, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 3.3.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 2.3 ≤ y ≤ 3.3. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).
2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы.
Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.
Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если aij ≥ akj для всех j Э N и хотя бы для одного j aij > akj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) – доминирующая, k-я – доминируемая.
Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э M aij ≤ ail и хотя бы для одного i aij < ail. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю – доминируемой.
В платежной матрице отсутствуют доминирующие строки.
В платежной матрице отсутствуют доминирующие столбцы.
Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.
Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.
3. Находим решение игры в смешанных стратегиях.
Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать так:
найти минимум функции F(x) при ограничениях (для игрока II):
2.3x1+4.2x2+1.2x3+4.2x4+3.2x5+1.7x6 ≥ 1
4.3x1+2.2x2+3.7x3+1.7x4+3.2x5+4.2x6 ≥ 1
3.3x1+2.7x2+2.7x3+2.2x4+2.9x5+2.5x6 ≥ 1
2.8x1+4.3x2+5.2x3+1.4x4+2.2x5+3.2x6 ≥ 1
5.2x1+2.2x2+1.2x3+2.9x4+6.2x5+4.7x6 ≥ 1
2.9x1+3.7x2+1.7x3+3.2x4+2.4x5+2.7x6 ≥ 1
3.3x1+2.7x2+3.7x3+1.2x4+1.7x5+2x6 ≥ 1
F(x) = x1+x2+x3+x4+x5+x6 → min
найти максимум функции Z(y) при ограничениях (для игрока I):
2.3y1+4.3y2+3.3y3+2.8y4+5.2y5+2.9y6+3.3y7 ≤ 1
4.2y1+2.2y2+2.7y3+4.3y4+2.2y5+3.7y6+2.7y7 ≤ 1
1.2y1+3.7y2+2.7y3+5.2y4+1.2y5+1.7y6+3.7y7 ≤ 1
4.2y1+1.7y2+2.2y3+1.4y4+2.9y5+3.2y6+1.2y7 ≤ 1
3.2y1+3.2y2+2.9y3+2.2y4+6.2y5+2.4y6+1.7y7 ≤ 1
1.7y1+4.2y2+2.5y3+3.2y4+4.7y5+2.7y6+2y7 ≤ 1
Z(y) = y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7 → max
Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции Z(Y) = y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7 при следующих условиях-ограничений.
2.3y1+4.3y2+3.3y3+2.8y4+5.2y5+2.9y6+3.3y7≤1
4.2y1+2.2y2+2.7y3+4.3y4+2.2y5+3.7y6+2.7y7≤1
1.2y1+3.7y2+2.7y3+5.2y4+1.2y5+1.7y6+3.7y7≤1
4.2y1+1.7y2+2.2y3+1.4y4+2.9y5+3.2y6+1.2y7≤1
3.2y1+3.2y2+2.9y3+2.2y4+6.2y5+2.4y6+1.7y7≤1
1.7y1+4.2y2+2.5y3+3.2y4+4.7y5+2.7y6+2y7≤1
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
2.3y1+4.3y2+3.3y3+2.8y4+5.2y5+2.9y6+3.3y7+y8 = 1
4.2y1+2.2y2+2.7y3+4.3y4+2.2y5+3.7y6+2.7y7+y9 = 1
1.2y1+3.7y2+2.7y3+5.2y4+1.2y5+1.7y6+3.7y7+y10 = 1
4.2y1+1.7y2+2.2y3+1.4y4+2.9y5+3.2y6+1.2y7+y11 = 1
3.2y1+3.2y2+2.9y3+2.2y4+6.2y5+2.4y6+1.7y7+y12 = 1
1.7y1+4.2y2+2.5y3+3.2y4+4.7y5+2.7y6+2y7+y13 = 1
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: y8, y9, y10, y11, y12, y13