Математическая модель, показатели эффективности работы системы, показатель тесноты и детерминации, критерий Вальда, Гурвица, Байесса, Севиджа.

Вариант 4
Задача 1. Запишите математическую модель (система ограничений, целевая функция).
a) Найдите решение полученной модели графическим (геометрическим) методом.
б) Найдите решение с помощью Поиск решения в Excel.
Предприятие предполагает выпускать два вида продукции A_1 и A_2 для производства которых используется сырьё трёх видов. Производство обеспечено сырьём каждого вида в количествах: b_1,b_2,b_3 кг. На изготовление единицы изделия A_1 требуется затратить сырья каждого вида
a_11,a_21,a_31 кг, соответственно, а для единицы изделия A_2 – a_12,a_22,a_32 кг.
Прибыль от реализации единицы изделий A_1 составляет c_1 д. ед., для изделия
A_2 – c_2 д. ед.
Требуется составить план производства изделий A_1 и A_2, обеспечивающий максимальную прибыль предприятия от реализации готовой продукции.
№
варианта a_11 a_12 b_1 a_21 a_22 b_2 a_31 a_32 b_3 c_1 c_2
4 1 3 300 3 4 477 4 1 441 52 39

Решение. Составим таблицу, описывающую условие данной задачи линейного программирования.

Сырьё, кг Изделия, ед
Запасы, кг
A_1 A_2
B_1 1 3 300
B_2 3 4 477
B_3 4 1 441
Прибыль, д. ед. за единицу изделия 52 39

Запишем математическую модель задачи.
Предположим, что предприятие изготовит x_1 и x_2 единиц изделий A_1 и A_2, соответственно. Тогда его прибыль составит 〖52x〗_1+39x_2 д.ед. Учитывая запасы сырья и расходы сырья на изготовление единицы изделия, получаем следующие ограничения на переменные x_1 и x_2:
– сырьё вида B_1 x_1+3x_2≤300;
– сырьё вида B_2 3x_1+4x_2≤477;
– сырьё вида B_3 〖4x〗_1+x_2≤441.
Отсюда, учитывая условие не отрицательности переменных x_1 и x_2 получаем следующую математическую модель данной задачи:
Найти максимальное значение функции
F(x_1,x_2 )=〖52x〗_1+39x_2→max
для x_1 и x_2 удовлетворяющих системе ограничений:
{█( x_1+3x_2≤300@3x_1+4x_2≤477@〖4x〗_1+x_2≤441@x_1,x_2≥0)┤
а) Решим графически данную задачу.
Построим область допустимых решений на координатной плоскости x_1 Ox_2, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены стрелками).
Построим прямую (1) x_1+3x_2=300 по двум точкам. Для нахождения первой точки возьмём x1 = 0 и находим x_2 = 100. Для нахождения второй точки приравниваем x_2 = 0 и находим x_1 = 300.
Через точки (0; 100) и (300; 0) проведём прямую линию.
Определим полуплоскость, задаваемую неравенством
x_1+3x_2≤300 . Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 0 + 3·0 – 300 ≤ 0, т.е. x_1+3x_2≤300 в полуплоскости содержащей начало координат.
Построим прямую (2) 3x_1+4x_2=477 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x_1 = 0 и находим x_2 = 119,25. Для нахождения второй точки приравниваем x_2 = 0 и находим x_1 = 159. Строим прямую, проходящую через точки (0; 119,25) и (159; 0).
Определим полуплоскость, которая задаётся неравенством
3x_1+4x_2≤477 . Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 3·0 +4·0 – 477 ≥ 0, т.е. 3x_1+4x_2≤477 в полуплоскости, содержащей начало координат.
Построим прямую (3) 〖4x〗_1+x_2=441 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x_1 = 0 и находим x_2 = 441. Для нахождения второй точки приравниваем x_2 = 0 и находим x_1 = 110,25.
Через точки (0; 441) с (110,25; 0) проводим прямую линию.
Определим полуплоскость, которая задаётся неравенством
〖4x〗_1+x_2≤441 . Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 4·0 + 1·0 – 441 ≤ 0, т.е. 〖4x〗_1+x_2≤441 в полуплоскости, содержащей начало координат.
Неравенство x_1≥0 определяет полуплоскость, расположенную «правее» оси Ox_2, а неравенство x_2≥0 определяет полуплоскость, расположенную «выше» оси Ox_1.

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которой удовлетворяют условию неравенств системы ограничений задачи.
Область допустимых решений – пяти угольник OABCD выделен на рисунке.
Рассмотрим целевую функцию задачи
F(X)=〖52x〗_1+39x_2→max
Построим прямую, отвечающую значению функции F=〖52x〗_1+39x_2= 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (52; 39). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку необходимо найти максимальное решение, то двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией и последняя точка касания – точка C.
Так как точка C получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют системе уравнений: