Контрольная работа по Эконометрика на тему Решение задач по эконометрике

Задача 1
Изучается зависимость материалоёмкости продукции от размера предприятия по 8 однородным заводам.
Таблица 1
Показатель Материалоемкость продукции по заводам
Потреблено материалов на единицу продукции, кг. 3,2 4,5 5 3,7 6 7 3,5 6
Выпуск продукции, тыс. ед. 330 500 750 321 500 600 210 450

Задание:
Найдите параметры уравнения y=a+b⋅x.
Оцените тесноту связи с помощью индекса корреляции.
Охарактеризуйте эластичность изменения материалоёмкости продукции.
Сделайте вывод о значимости уравнения регрессии.
Решение
1. Найдем параметры уравнения y=a+b⋅x по МНК:
b=((x⋅y) ̅-x ̅⋅y ̅)/((x^2 ) ̅-x ̅^2 ),a=y ̅-b⋅x ̅.
Вспомогательные расчеты проведем в таблице (табл. 2).
Таблица 2
№ п/п y_i x_i y_i^2 x_i^2 y_i⋅x_i
1 3,2 330 10,24 108900 1056,0
2 4,5 500 20,25 250000 2250,0
3 5,0 750 25,00 562500 3750,0
4 3,7 321 13,69 103041 1187,7
5 6,0 500 36,00 250000 3000,0
6 7,0 600 49,00 360000 4200,0
7 3,5 210 12,25 44100 735,0
8 6,0 450 36,00 202500 2700,0
Сумма 38,9 3661 202,43 1881041 18878,7
Среднее 4,8625 457,625 25,30375 235130,125 2359,838

По данным таблицы 2 получаем:
b=(2359,838-4,8625⋅457,625)/(235130,125-〖457,625〗^2 )≈0,005,a=4,8625-0,005⋅457,625≈2,47
Получаем уравнение: y=2,47+0,005⋅x.
Таким образом, с ростом размеров производства на тысячу единиц, материалоемкость возрастает на 0,005 кг на единицу продукции.
2. Найдем индекс корреляции:
r_yx=b⋅√(((x^2 ) ̅-x ̅^2)/((y^2 ) ̅-y^2 ))=0,005⋅√((235130,125-〖457,625〗^2)/(25,30375-〖4,8625〗^2 ))≈0,652
Так как коэффициент корреляции находится в интервале от 0,5 до 0,7, согласно шкале Чеддока, между материалоёмкостью и размерами производства существует прямая заметная линейная связь.
3. Найдем коэффициент эластичности:
Э=b⋅x ̅/y ̅ =0,005⋅457,625/4,8625≈0,493
Таким образом, с ростом размеров производства на 1%, материалоемкость возрастает на 0,493%.
4. Выдвинем гипотезу H0: о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R^2=0).
Проверим эту гипотезу по F-критерию Фишера при уровне значимости α=0,05. Найдем фактическое значение критерия:
F_факт=R^2/(1-R^2 )⋅(n-2)=〖0,652〗^2/(1-〖0,652〗^2 )⋅(8-2)≈4,431
По таблице распределения Фишера для уровня значимости α=0,05 и степеней свободы v_1=m=1 и v_2=n-m-1=8-2=6 найдем F_кр=5,99.
Так как F_факт<F_кр, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о незначимости уравнения регрессии. Иными словами, с вероятностью 95% линейное уравнение регрессии в целом незначимо.

Задача 2
Имеются данные о деятельности крупнейших компаний США в 1996 г.
Таблица 3
№ п/п Чистый доход, млрд долл. США, y Оборот капитала, млрд долл. США, x_1 Использованный капитал, млрд долл. США, x_2
1 0,9 31,3 18,9
2 1,7 13,4 13,7
3 0,7 4,5 18,5
4 1,7 10,0 4,8
5 2,6 20,0 21,8
6 1,3 15,0 5,8
7 4,1 137,1 99,0
8 1,6 17,9 20,1
9 6,9 165,4 60,6
10 0,4 2,0 1,4

Задание:
Вычислите описательные статистики. Проверьте характер распределения признаков. При необходимости удалите аномальные наблюдения.
Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции.
Постройте множественное линейное уравнение регрессии, принимая душевой доход в качестве объясняющей переменной. Постройте графики эмпирических и расчётных значений переменной y. Сделайте выводы.
Оцените значимость уравнения множественной регрессии в целом и их параметров.
Решение
1. Вычислим описательные статистики по формулам:
среднее:
x ̅=1/n⋅∑_(i=1)^n▒x_i
среднее линейное отклонение:
d ̅=1/n⋅∑_(i=1)^n▒|x_i-x ̅ |
дисперсию:
D=1/n⋅∑_(i=1)^n▒(x_i-x ̅ )^2 =(x^2 ) ̅-x ̅^2
несмещенную оценку дисперсии – исправленную дисперсию:
S^2=n/(n-1)⋅D
среднее квадратическое отклонение:
σ=√D
коэффициент вариации:
V=σ/x ̅ ⋅100%
момент третьего порядка:
m_3=1/n⋅∑_(i=1)^n▒(x_i-x ̅ )^3
момент четвертого порядка:
m_4=1/n⋅∑_(i=1)^n▒(x_i-x ̅ )^4
коэффициент асимметрии:
As=m_3/σ^3
коэффициент эксцесса:
Ex=m_4/σ^4 -3
Вспомогательные расчеты проведем в таблицах 4-6.
Таблица 4
№ y y-y ̅ |y-y ̅ | (y-y ̅ )^2 (y-y ̅ )^3 (y-y ̅ )^4
1 0,9 -1,29 1,29 1,6641 -2,1467 2,7692
2 1,7 -0,49 0,49 0,2401 -0,1176 0,0576
3 0,7 -1,49 1,49 2,2201 -3,3079 4,9288
4 1,7 -0,49 0,49 0,2401 -0,1176 0,0576
5 2,6 0,41 0,41 0,1681 0,0689 0,0283