Контрольная работа по математике на тему Линейные уравнения по формулам Крамера

Задание № 1

Решение

Решим систему по формулам Крамера
Кратко алгоритм метода Крамера можно описать тремя шагами:
Находим определитель ∆ исходной матрицы A.
В цикле от 1 до n заменяем i-ый столбец матрицы на столбец результатов B. Находим текущий определитель ∆i полученной матрицы.
xi находится делением ∆i на ∆: xi = ∆i / ∆.
Запишем систему в виде:
A=[■(1&-1&2@3&2&-2@5&-2&4)]
B=[■(-1@-4@-1)]
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.Определитель матрицы A равен:
∆ = 1·2·4 + (-1)·(-2)·5 + 2·3·(-2) - 2·2·5 - 1·(-2)·(-2) - (-1)·3·4 = 8 + 10 - 12 - 20 - 4 + 12 = -6
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
[■(-1&-1&2@-4&2&-2@-1&-2&4)]
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = (-1)·2·4 + (-1)·(-2)·(-1) + 2·(-4)·(-2) - 2·2·(-1) - (-1)·(-2)·(-2) - (-1)·(-4)·4 = -8 - 2 + 16 + 4 + 4 - 16 = -2
x_1=∆_1/∆; x_1=(-2)/(-6)=1/3
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
[■(1&-1&2@3&-4&-2@5&-1&4)]
∆2 =1·(-4)·4 + (-1)·(-2)·5 + 2·3·(-1) - 2·(-4)·5 - 1·(-2)·(-1) - (-1)·3·4 = -16 + 10 - 6 + 40 - 2 + 12 = 38
x_2=∆_2/∆; x_2=38/(-6)=-19/3
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
[■(1&-1&-1@3&2&-4@5&-2&-1)]
∆3 =1·2·(-1) + (-1)·(-4)·5 + (-1)·3·(-2) - (-1)·2·5 - 1·(-4)·(-2) - (-1)·3·(-1) = -2 + 20 + 6 + 10 - 8 - 3 = 23
x_3=∆_3/∆; x_3=-23/6

Ответ: x_1=1/3; x_2=-19/3; x_3=-23/6

Решим систему методом Гаусса

Метод Гаусса– это метод последовательного исключения неизвестных. Суть метода Гаусса состоит в преобразовании исходной системы к системе с треугольной матрицей, из которой затем последовательно (обратным ходом) получаются значения всех неизвестных.
Запишем основную матрицу системы:
A=[■(1&-1&2@3&2&-2@5&-2&4)]
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю. Определитель матрицы A равен:
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю. Определитель матрицы A равен:
∆ = 1·2·4 + (-1)·(-2)·5 + 2·3·(-2) - 2·2·5 - 1·(-2)·(-2) - (-1)·3·4 = 8 + 10 - 12 - 20 - 4 + 12 = -6≠0
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
[■(■(■(1&-1)@■(3&2))&■(■(2&-1)@■(-2&-4))@■(5&-2)&■(4&-1))]
Умножим 1-ю строку на 3. Умножим 2-ю строку на (-1). Добавим 2-ю строку к 1-й:
[■(■(■(0&-5)@■(3&2))&■(■(8&1)@■(-2&-4))@■(5&-2)&■(4&-1))]
Умножим 2-ю строку на 5. Умножим 3-ю строку на (-3). Добавим 3-ю строку к 2-й:
[■(■(■(0&-5)@■(0&16))&■(■(8&1)@■(-22&-17))@■(5&-2)&■(4&-1))]
Умножим 1-ю строку на 16. Умножим 2-ю строку на 5. Добавим 2-ю строку к 1-й:
[■(■(■(0&0)@■(0&16))&■(■(18&-69)@■(-22&-17))@■(5&-2)&■(4&-1))]
Теперь исходную систему можно записать так:
x_3=-69/18=-23/6
x_2=(-17+22x_3)/16
x_1=(-1+2x_2-4x_3)/5
Из 1-й строки находим x_3
x_3=-23/6
Из 2-ой строки находим x_2
x_2=(-17+22∙(-23/6))/16=-19/3
Из 3-й строки находим x_1
x_1=(-1+2∙(-19/3)-4∙(-23/6))/16=1/3

Ответ: x_1=1/3; x_2=-19/3; x_3=-23/6