Линейные уравнения

Контрольная работа № 1

Задача 1

Решение

Решим систему по формулам Крамера
Кратко алгоритм метода Крамера можно описать тремя шагами:
Находим определитель ∆ исходной матрицы A.
В цикле от 1 до n заменяем i-ый столбец матрицы на столбец результатов B. Находим текущий определитель ∆i полученной матрицы.
xi находится делением ∆i на ∆: xi = ∆i / ∆.
Запишем систему в виде:
A=[■(2&1&-1@3&-2&2@5&1&-1)]
B=[■(1@2@-1)]
Проверим совместна или несовместна система.
Определитель матрицы A равен:
∆ = 2*((-2)*(-1)-1*2)-3*(1*(-1)-1*(-1))+5*(1*2-(-2)*(-1)) = 0
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
[■(1&1&-1@2&-2&2@-1&1&-1)]
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = 1∙((-2)∙(-1)-1∙2)-1((-1)∙2-(-1)∙2)-1(2∙1-(-1)∙(-2))=0
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
[■(2&1&-1@3&2&2@5&-1&-1)]
∆2 = 2∙((-1)∙2-(-1)∙2)-1((-1)∙3-5∙2)-1((-1)∙3-2∙5) = 26≠0
Следовательно, система несовместна. Система не имеет решений

Ответ: cистема не имеет решений

Решим систему методом Гаусса
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
(■(■(2&1)&■(-1&1)@■(3&-2)&■(2&2)@■(5&1)&■(-1&-1)))
Умножим 1-ю строку на 3. Умножим 2-ю строку на (-2). Добавим 2-ю строку к 1-й:
(■(■(0&7)&■(-7&-1)@■(3&-2)&■(2&2)@■(5&1)&■(-1&-1)))
Умножим 2-ю строку на 5. Умножим 3-ю строку на (-3). Добавим 3-ю строку к 2-й:
(■(■(0&7)&■(-7&-1)@■(3&-2)&■(2&2)@■(5&1)&■(-1&-1)))
Умножим 1-ю строку на 13. Умножим 2-ю строку на (7). Добавим 2-ю строку к 1-й:
(■(■(0&0)&■(0&78)@■(0&-13)&■(13&13)@■(5&1)&■(-1&-1)))
В матрице 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.
(■(0&13&13@5&-1&-1))
Ранг основной матрицы системы равен rang(A)=2. Ранг расширенной матрицы равен rang=3. Таким образом, система не имеет решения.

Ответ: cистема не имеет решений
 
Задача 2

Решение

Чтобы привести уравнение кривой к каноническому виду, выделим полный квадрат в многочлене второго порядка:
x+2y^2-4y+4=0
x+2(y^2-2y+1)+2=0
〖(y-1)〗^2=1/2(-x-2)
〖(y-1)〗^2=-1/2(x-(-2))
〖(y-1)〗^2=-2∙1/4(x-(-2))
Получили уравнение параболы. Ветви параболы направлены влево, вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (-2;1).
Параметр p = 1/4
Точки пересечения параболы с прямой определяются решением системы:
{█(x+2y^2-4y+4=0@x-2y+4=0)┤
{█(2y-4+2y^2-4y+4=0@x=2y-4)┤
2y^2-2y=0
y_1=0; y_2=1
x_1=2∙0-4=-4; x_2=2∙1-4=-2
Таким образом, парабола пересекает прямую в точках A(-4;0),B (-2;1)
Построим графики данных линий

 
Задача 3

Решение

y^4=3y^2-x^2
Переменные x и y в уравнении имеют чётные показатели степе-
ни. Поэтому достаточно построить кривую в первой четверти, т. е. при
0≤φ≤π/2 , а затем симметрично отобразить её относительно обеих декартовых осей координат в другие квадранты.
Подставляя x=ρcosφ,y=ρsinφ в заданное уравнение, получим следующее выражение:
ρ^4 〖sin〗^4 φ=3ρ^2 〖sin〗^2 φ-ρ^2 〖cos〗^2 φ
⇕
{█(ρ=0@ρ^2 〖sin〗^4 φ=3〖sin〗^2 φ-〖cos〗^2 φ)┤
⇕
{█(ρ=0@ρ^2 〖sin〗^4 φ=4〖sin〗^2 φ-1)┤
График пройдёт через начало координат – вырожденную в точку О окруж-
ность ρ=0 с нулевым радиусом. Находим область допустимых значений в первой четверти
4〖sin〗^2 φ-1≥0
4〖sin〗^2 φ≥1
sinφ≥1/2
π/6≤φ≤π/2
Составляем расчётную таблицу для построения кривой
ρ=√(4sin^2 φ-1)/(sin^2 φ)
в первом квадранте. Симметрично достраиваем полный график функции в остальные четверти
φ ρ=√(4sin^2 φ-1)/(sin^2 φ)
Точки
30° 0 (π/6;0)
45° 2 (π/4;2)
60° 1,89 (π/3;1,89)
90° 1,73 (π/2;1,73)

 
Задача 4

Решение

Найдём длину ребра A_1 A_2
Найдем координаты вектора
(A_1 A_2 ) ⃗={-1;-1;0}
Длина ребра равна:
|(A_1 A_2 ) ⃗ |=√(〖(-1)〗^2+〖(-1)〗^2+0^2 )=√2
Уравнение прямой A_1 A_2, проходящей через точки 〖 A〗_1 (x_1,y_1,z_1 ),A_2 (x_2,y_2,z_2 ), найдём по формуле:
(x-x_1)/(x_2-x_1 )=(y-y_1)/(y_2-y_1 )=(z-z_1)/(z_2-z_1 )
(x-7)/(6-7)=(y-7)/(6-7)=(z-8)/(8-8)
(x-7)/(-1)=(y-7)/(-1)=(z-8)/0
Угол между ребрами A_1 A_2 и A_1 A_4 находим с помощью скалярного произведения векторов по формуле
cosφ=((A_1 A_2 ) ⃗∙(A_1 A_4 ) ⃗)/(|(A_1 A_2 ) ⃗ |∙|(A_1 A_4 ) ⃗ | )
найдем координаты векторов
(A_1 A_2 ) ⃗={-1;-1;0}, (A_1 A_4 ) ⃗={1;-6;-7},
тогда косинус угла между векторами
cosφ=(-1∙1+(-1)∙(-6)+0∙(-7))/(√(1+1+0)∙√(1+36+49))=0,381
φ=arccos⁡(0,381)=67,6°
Найдём уравнение плоскости A_1 A_2 A_3
Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Если〖 A〗_1 (x_1,y_1,z_1 ),A_2 (x_2,y_2,z_2 ),A_3 (x_3,y_3,z_3 ), три данные точки, не лежащие на одной прямой, а произвольная точка плоскости, то уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид
.
Подставим данные и упростим выражение:

z-8=0 - уравнение плоскости A_1 A_2 A_3
Найдём угол между ребром A_1 A_4 и гранью A_1 A_2 A_3
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
sinγ=|Al+Bm+Cn|/(√(A^2+B^2+C^2 )∙√(l^2+m^2+n^2 ))
z-8=0 - уравнение плоскости A_1 A_2 A_3
Отсюда A=0; B=0; C=1
Уравнение прямой A_1 A_4, проходящей через точки 〖 A〗_1 (x_1,y_1,z_1 ),A_4 (x_4,y_4,z_4 ), найдём по формуле:
(x-x_1)/(x_4-x_1 )=(y-y_1)/(y_4-y_1 )=(z-z_1)/(z_4-z_1 )
(x-7)/(8-7)=(y-7)/(1-7)=(z-8)/(1-8)
(x-7)/1=(y-7)/(-6)=(z-8)/(-7)
Отсюда l=1; m=-6; n=-7
sinγ=|0∙1+0∙(-6)+1∙(-7)|/(√(0^2+0+1^2 )∙√(1^2+〖(-6)〗^2+〖(-7)〗^2 ))=0,755