Математика. Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление

№ 7

Решение

Решим систему методом Гаусса

Метод Гаусса– это метод последовательного исключения неизвестных. Суть метода Гаусса состоит в преобразовании исходной системы к системе с треугольной матрицей, из которой затем последовательно (обратным ходом) получаются значения всех неизвестных.
Запишем основную матрицу системы:
A=[■(■(1&1)&■(-1&4)@■(2&-1)&■(1&1)@■(1&7)&■(-4&11))]
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
[■(■(1&1)&■(-1&■(4&2))@■(2&-1)&■(1&■(1&1))@■(1&7)&■(-4&■(11&5)))]
Умножим 1-ю строку на 2. Умножим 2-ю строку на (-1). Добавим 2-ю строку к 1-й:
[■(■(0&3)&■(-3&■(7&3))@■(2&-1)&■(1&■(1&1))@■(1&7)&■(-4&■(11&5)))]
Умножим 3-ю строку на (-2). Добавим 3-ю строку к 2-й:
[■(■(0&3)&■(-3&■(7&3))@■(0&-15)&■(9&■(-21&-7))@■(1&7)&■(-4&■(11&5)))]
Умножим 1-ю строку на 5. Добавим 2-ю строку к 1-й:
[■(■(0&0)&■(-6&■(14&8))@■(0&-15)&■(9&■(-21&-7))@■(1&7)&■(-4&■(11&5)))]
Теперь исходную систему можно записать так:
x3 = [8-14x4]/(-6)
x2 = [-7-(9x3 - 21x4)]/(-15)
x1 = 4-(7x2 - 4x3 + 11x4)
Необходимо переменную x4 принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.
Для получения базисного решения, приравняем переменную x4 к 0.
Из 1-й строки выражаем x3
x_3=-8/6=-4/3

Из 2-й строки выражаем x2
x_2= (-7-9∙(-4/3))/(-15)=-1/3
Из 3-й строки выражаем x1
x1= 4-(7∙(-1/3) - 4∙(-4/3))=1

Ответ: x_1=1; x_2=-1/3; x_3=-4/3; x_4=0
 
№ 17

Решение

1) Матрица системы имеет вид:

Главный определитель равен
∆=-2*((-1)*1 - (-3)*1) - 1*(2*1 - (-3)*(-1)) + 4*(2*1 - (-1)*(-1)) = 1
Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A-1.
Обратная матрица будет иметь следующий вид:

где - алгебраические дополнения.
Обратная матрица будет иметь следующий вид:
A^(-1)=1/1 (■(A_11&A_21&A_31@A_12&A_22&A_32@A_13&A_23&A_33 ))
где Aij - алгебраические дополнения.
Транспонированная матрица равна:
A^T=(■(-2&1&4@2&-1&-3@-1&1&1))
Найдем алгебраические дополнения матрицы AT.
A_1,1=〖(-1)〗^(1+1) |■(-1&-3@1&1)|
∆1,1 = ((-1)∙1 - 1∙(-3)) = 2
A_1,2=〖(-1)〗^(1+2) |■(2&-3@-1&1)|
∆1,2 = -(2∙1 - (-1)∙(-3)) = 1
A_1,3=〖(-1)〗^(1+3) |■(2&-1@-1&1)|
∆1,3 = (2∙1 - (-1)∙(-1)) = 1
A_2,1=〖(-1)〗^(2+1) |■(1&4@1&1)|
∆2,1 = -(1∙1 - 1∙4) = 3
A_2,2=〖(-1)〗^(2+2) |■(-2&4@-1&1)|
∆2,2 = ((-2)∙1 - (-1)∙4) = 2
A_2,3=〖(-1)〗^(2+3) |■(-2&1@-1&1)|
∆2,3 = -((-2)∙1 - (-1)∙1) = 1
A_3,1=〖(-1)〗^(3+1) |■(1&4@-1&-3)|
∆3,1 = (1∙(-3) - (-1)∙4) = 1
A_3,2=〖(-1)〗^(3+2) |■(-2&4@2&-3)|
∆3,2 = -((-2)∙(-3) - 2∙4) = 2
A_3,3=〖(-1)〗^(3+3) |■(-2&1@2&-1)|
∆3,3 = ((-2)∙(-1) - 2∙1) = 0
Обратная матрица равна:
A^(-1)=1/1 (■(2&1&1@3&2&1@1&2&0))
A^(-1)=(■(2&1&1@3&2&1@1&2&0))
Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.
E=A∙A^(-1)=(■(-2&2&-1@1&-1&1@4&-3&1))∙1/1 (■(2&1&1@3&2&1@1&2&0))=
=(■((-2)∙2+2∙3+(-1)∙1&(-2)∙1+2∙2+(-1)&(-2)∙1+2∙1+(-1)∙0@1∙2+(-1)∙3+1∙1&1∙1+(-1)∙2+1∙2&1∙1+(-1)∙1+1∙0@4∙2+(-3)∙3+1∙1&4∙1+(-3)∙2+1∙2&4∙1+(-3)∙1+1∙0))=
=1/1 (■(1&0&0@0&1&0@0&0&1))=(■(1&0&0@0&1&0@0&0&1))
2)Матрица системы имеет вид:

Матрица-столбец неизвестных:

Матрица-столбец свободных членов:

Тогда система в матричном виде имеет вид:

Матрицу Х можно выразить, если умножить обе части этого уравнения слева на матрицу, обратную матрице А:


Это уравнение можно решить, если определитель матрицы А не равен нулю
∆ =-2*((-1)*1 - (-3)*1) - 1*(2*1 - (-3)*(-1)) + 4*(2*1 - (-1)*(-1)) = 1
Найдём решение уравнения
Так как, значения неизвестных равны:


Таким образом,
x_1=7; x_2=9; x_3=1

Ответ: x_1=7; x_2=9; x_3=1
 
№ 27

Решение

〖(1-i)〗^2 z+(3-4i)/(2-i)+i^30 (2-3i)=0
Преобразуем, с учётом, что i^2=-1; i^30=-1.
〖(1-2i+i〗^2)z+((3-4i)(2+i))/((2-i)(2+i))-(2-3i)=0
(1-2i-1)z+(6+3i-8i-4i^2)/(4-i^2 )-(2-3i)=0
-2iz+(6-5i+4)/(4-(-1))-2+3i=0
-2iz+(10-5i)/5=2-3i
-2iz+2-i=2-3i
-2iz=-2+i+2-3i
-2iz=-2i
z=(-2i)/(-2i)=1
z=x+iy=1
Отсюда x=1;y=0

Ответ: x=1;y=0

 
№ 37

Решение

a) y^'=〖(2/5-tg x/7+〖30〗^(-x)+arccos2x)〗^'=-(1/7)/(〖cos〗^2 x/7)+(-〖30〗^(-x) ln30)+(-2/√(1-(2x)^2 ));
б) y^'=〖(ln⁡(7+x^2 )-√x+∜x arctg^5 x)〗^'=〖(ln⁡(7+x^2 )-√x+x^(1/4) arctg^5 x)〗^'=
=〖(7+x^2)〗^'/(7+x^2 )-1/(2√x)+〖(〖x^(1/4))〗^' arctg^5 x+x^(1/4) (arctg^5 x)〗^'=
=2x/(7+x^2 )-1/(2√x)+1/4 x^(-3/4) arctg^5 x+x^(1/4) 5 arctg^4 x〖(arctgx)〗^'=
=2x/(7+x^2 )-1/(2√x)+1/4 x^(-3/4) arctg^5 x+x^(1/4) 5 arctg^4 x∙1/(1+x^2 );
в) y^'=〖(1/√(8-3x)+x^3/(3+e^4x ))〗^'=〖(〖(8-3x)〗^(-1/2)+x^3/(3+e^4x ))〗^'=
=-1/2 〖(8-3x)〗^(-3/2) 〖(8-3x)〗^'+((x^3 )^' (3+e^4x )-x^3 〖(3+e^4x)〗^')/〖(3+e^4x)〗^2 =
=-1/2 (8-3x)^(-3/2) (-3)+(3x^2 (3+e^4x )-x^3 4e^4x)/(3+e^4x )^2 .