МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

Задание 1. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания m нормального распределения генеральной совокупности с надёжностью 0,95, зная выборочное среднее хср., объём выборки n и среднее квадратическое отклонение σ. Данные взять из таблицы 1.
Набор данных для задания 1:
хср = 72 n = 112 + 8 = 120, σ = 20
Решение

68,42155 < < 75,57845
Номер наблюдения b = 0
X Y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20 70
37
30
59
48
66
37
81
70
80
38
27
59
55
60
82
48
62
81
67 46
78
50
64
38
40
64
50
66
48
56
48
58
65
62
70
69
64
50
54

Решение
Сформулируем статистические гипотезы.
H0 : дисперсии показателей % брака выпускаемой продукции каждого
вида первой и второй организаций статистически значимо не различаются.
H1 : дисперсии показателей % брака выпускаемой продукции каждого
вида первой и второй организаций статистически значимо различаются.
Формула для подсчета эмпирического значения
F_эмп=(S_1^2)/(S_2^2 )
F - критерия Фишера.
В данной формуле S_1^2 - это всегда дисперсия с большим значением, а
S_2^2– с меньшим.
N X Y
1 70 46
2 37 78
3 30 50
4 59 64 S12 = 305,7132
5 48 38
6 66 40 S22= 113,7895
7 37 64
8 81 50 Fэмп = 2,686656
9 70 66
10 80 48
11 38 56
12 27 48
13 59 58
14 55 65
15 60 62
16 82 70
17 48 69
18 62 64
19 81 50
20 67 54

Получаем дисперсии.
S_1^2 = 305,7132,
S_2^2=113,7895,
Fэмп = 2,686656.
Число степеней свободы в обоих случаях равно
df = 20 – 1 = 19.
По таблице Приложения 4 для F - критерия находим
F_кр={■(1,88 для р≤0,05,@2,49 для р≤0,01)┤

Строим «ось значимости»:

Гипотезу Н0 отклоняем. Пинимаем гипотезу H1 : дисперсии показателей % брака выпускаемой продукции каждого вида первой и второй организаций статистически значимо различаются.
Задание 4. В таблице приведены результаты исследования возраста у 100 случайно выбранных работников государственных предприятий N-й области. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении возраста работников государственных предприятий N-й области (выбор варианта по предпоследней цифре студенческого билета – значение параметра b).
Вариант 8




72
1,96
20
120

3,578454

Доверительный интервал
x ̅-(t_(п.р) σ)/√n 68,42155 < m < 75,57845.

Задание 2. У группы сотрудников предприятия был дважды измерен % выполнения норм выработки: в начале первого и второго года работы. Данные представлены в таблице ( X и Y – результаты измерений в начале первого года и второго соответственно). Можно ли сказать, что за год работы % выполнения норм выработки значимо изменился? Для решения задачи использовать t - критерий Стьюдента.



Номер наблюдения b = 0
X Y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20 162
148
116
148
137
118
128
142
156
137
142
120
136
162
136
117
122
138
148
140 172
150
132
154
150
130
136
156
160
148
154
130
146
184
160
134
146
156
164
170

Решение
Сформулируем статистические гипотезы. H0: разница между средними значениями % выполнения норм выработки первого и второго года работы равна нулю. H1: разница между средними значениями % выполнения норм выработки первого и второго года работы отлична от нуля.

В таблице приведены соответствующие экспериментальные данные и необходимые расчеты. Так как выборки связные и одинакового размера, то используется следующая формула t - критерия Стьюдента:
t_эмп=d ̅/S_d ,
где d ̅=(∑▒d_i )/n=(∑▒〖y_(i-) x_i 〗)/n,
Sd=√((∑▒〖d_i^2-(∑▒d_i )^2/n〗)/(n(n-1)))
Запишем результаты расчетов в таблицу.
N X Y d d^2
1 162 172 10 100
2 148 150 2 4
3 116 132 16 256
4 148 154 6 36
5 137 150 13 169
6 118 130 12 144
7 128 136 8 64
8 142 156 14 196
9 156 160 4 16
10 137 148 11 121
11 142 154 12 144
12 120 130 10 100
13 136 146 10 100 Sd^2= 2,534079 tэмп = 8,763229
14 162 184 22 484
15 136 160 24 576 Sd= 1,591879
16 117 134 17 289
17 122 146 24 576
18 138 156 18 324
19 148 164 16 256
20 140 170 30 900
Сумма 279 4855
Среднее 13,95

Число степеней свободы равно k 20 119, по таблице Приложения 5 находим t_кр={■(2,09 для р≤0,05,@2,86 для р≤0,01)┤

Строим «ось критической области»:

Таким образом, на 5% уровне значимости гипотеза Н0 отклоняется и принимается гипотеза H1, то есть средние значения % выполнения норм выработки в начале первого и второго года работы значимо различаются между собой.
Задание 3. В двух организациях проводилось квартальное сравнение по качеству выпускаемой продукции 20-ти видов. Полученные значения приведены в таблице ( X и Y – % брака выпускаемой продукции каждого вида первой и второй организаций соответственно). С помощью критерия Фишера определить, есть ли различия в степени однородности показателей % брака выпускаемой продукции между выборками.