Исследовать динамические свойства заданной нелинейной системы методом фазовой плоскости или методом гармонической линеаризации

Для нелинейной САУ, заданной структурной схемой, видом нелинейности и числовыми значениями параметров (для своего варианта), выполнить следующее:
1. Исследовать динамические свойства заданной нелинейной системы методом фазовой плоскости или методом гармонической линеаризации;
2. Методом структурного моделирования в программе «MatLab 6.5 / Simulink 5»:
а) проверить результаты аналитического расчета по п. 1;
б) найти переходный процесс при постоянном характерном воздействии и определить его параметры;
в) исследовать влияние уровня входного воздействия на вид и параметры переходного процесса.
г) исследовать влияние параметров нелинейности на вид переходного процесса (для систем 3-го порядка) или фазовых траекторий (для систем 2-го порядка).

Исходные данные:


Рисунок 1 Структурная схема нелинейной САУ

Таблица 1
Номер
варианта Параметры
K1 K2 K3 T1 T2 T3
14 16 2.3 0.5 0.35 0.2 0.15
Параметры структурной схемы нелинейной САУ


Рисунок 2 - Вид и параметры нелинейности



1. Исследовать динамические свойства заданной нелинейной системы методом фазовой плоскости или методом гармонической линеаризации;
Исследование нелинейных САУ значительно сложнее, чем линейных систем, так как оно связано с необходимостью решения нелинейных дифференциальных уравнений. В большинстве случаев подобное решение не может быть получено в общем виде, в связи с чем приходится прибегать к частным решениям и частным методам, позволяющим определять отдельные динамические свойства исследуемых САУ (устойчивость при определенных условиях, поведение системы при различных начальных отклонениях, наличие автоколебаний, их устойчивость и т. п.).
Для заданных в контрольной работе или РГР нелинейных систем динамические свойства можно исследовать методом фазовой плоскости или методом гармонической линеаризации.
Метод исследования выбирается в зависимости от порядка дифференциального уравнения заданной САУ. Системы второго порядка исследуются методом фазовой плоскости, третьего и более высокого порядка – методом гармонической линеаризации.
При исследовании нелинейной САУ методом фазовой плоскости или методом гармонической линеаризации, прежде всего, необходимо привести заданную структурную схему к расчетному виду.
Структурные схемы реальных нелинейных САУ могут содержать несколько групп линейных звеньев и нелинейных элементов, различным образом соединенных между собой. Метод фазовой плоскости и метод гармонической линеаризации применимы только к таким нелинейным системам, структурные схемы которых можно привести к расчетному виду, изображенному на рисунке 3.

Рисунок 3 - Расчетная структурная схема
НЭ – нелинейный элемент с эквивалентной статической характеристикой всех нелинейных элементов, соединенных между собой;
ЛЧ – линейная часть (эквивалентная передаточная функция всех линейных звеньев, соединенных между собой).
Приведем структурную схему нелинейной САУ, изображенную на рисунке 3, к расчетному виду.
Преобразование структурной схемы нелинейной системы к расчетному виду имеет некоторые особенности. В частности необходимо, чтобы входное воздействие всегда подавалось на вход нелинейного элемента.
После преобразования линейных звеньев к одному звену с эквивалентной передаточной функцией Wлч(p):


Методом фазовой плоскости оценка качества нелинейной системы осуществляется по реакции системы второго порядка на отклонение выходной величины и ее производных от состояния равновесия. Для этого в расчетной структурной схеме положим xвх1 = 0 и обозначим отклонение выходной величины xвых1 через x.
Окончательно структурная схема для исследования нелинейной системы второго порядка методом фазовой плоскости будет иметь вид, изображенный на рисунке 4.

Рисунок 4 - Преобразованная структурная схема нелинейной САУ

Метод фазовой плоскости основан на графическом представлении движений системы на фазовой плоскости, где по оси абсцисс откладывается отклонение выходной величины х, а по оси ординат производная отклонения по времени y = dх/dt. Фазовая плоскость изображена на рисунке 5.

Рисунок 5 - Фрагмент фазовой плоскости
Если при исследовании нелинейной САУ задать начальные значения отклонения х0 и y0, то этим значениям на фазовой плоскости будет соответствовать точка начальных условий М0. Эта точка называется изображающей. Во время переходного процесса изображающая точка перемещается в координатах фазовой плоскости и прочерчивает фазовую траекторию исследуемой САУ. Совокупность фазовых траекторий для различных начальных условий называется фазовым портретом системы.
Анализ движения системы производится по виду фазовых траекторий и по направлению движения изображающей точки. Установившемуся режиму на фазовой плоскости соответствует начало координат, так как отклонение х и его производная у в начале координат равны нулю. Если изображающая точка стремится к началу координат, то движение в системе устойчивое; если удаляется от начала координат, то неустойчивое; если же совершает повторяющиеся движения по замкнутой фазовой траектории, то в системе наблюдаются автоколебания.
Начало фазовых координат в рассматриваемом методе принято называть особой точкой.
Фазовые траектории, соответствующие автоколебательным движениям системы, называются особыми линиями или предельными циклами. Их два типа: устойчивый предельный цикл и неустойчивый предельный цикл.
Направление движения системы по фазовым траекториям указывается стрелками. На основании свойств фазовых траекторий всегда движение изображающей точки происходит в верхней полуплоскости слева направо, в нижней – справа налево, а ось абсцисс пересекается под углом 90°.
Из сказанного следует, что фазовый портрет полностью характеризует динамические свойства системы. Поэтому метод фазовой плоскости сводится к построению фазового портрета при характерных для системы отклонениях.
Построение фазового портрета производится либо по уравнению фазовых траекторий, либо приближенным графоаналитическим методом изоклин. При этом можно рекомендовать следующую последовательность расчета:
исходная структурная схема нелинейной САУ приводится к окончательной расчетной структурной схеме, изображенной на рисунке 4;
по передаточной функции записывается дифференциальное уравнение линейной части. Допустим, что линейная часть представляет собой типовое колебательное звено – звено второго порядка, тогда дифференциальное уравнение линейной части будет иметь вид

записываются алгебраические уравнения всех линейных участков эквивалентного нелинейного элемента
x1 = f (−x)
для симметричных нелинейностей
x1 = −f(x);
делается подстановка x1 = −f(x) в уравнение (1.2) и записывается дифференциальное уравнение исследуемой системы относительно отклонения выходной величины (при этом исключается промежуточная переменная х1):

При кусочно-линейной аппроксимации нелинейной статической характеристики вводится понятие линии переключения. Линии переключения делят фазовую плоскость на области, каждой из которых соответствует свое дифференциальное уравнение. Линии переключения наносятся на фазовую плоскость в процессе построения фазового портрета. На рисунке 6 показан пример расстановки линий переключения ЛП1 и ЛП2 для нелинейности типа «идеальное реле с зоной нечувствительности». Кружком с цифрой обозначен номер линейного участка нелинейного элемента и соответствующие ему области на фазовой плоскости;