Теория вероятности и математическая статистика

Задача № 1:
1.1. Текст задачи № 1;
Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же мишени в одинаковых и независимых условиях. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что:
а) только один из стрелков попал в мишень;
б) только два стрелка попали в мишень;
в) все три стрелка попали в мишень;
1.2. Решение задачи № 1;
Дано:
P(1) = 0,9 – вероятность попадания первого стрелка
P(2) = 0,8 – вероятность попадания второго стрелка
P(3) = 0,7 – вероятность попадания третьего стрелка
а) Вероятность того, что только один из стрелков попал в мишень:
P(только 1) = P(1)*(1-P(2))*(1-P(3)) + (1-P(1))*P(2)*(1-P(3)) + (1-P(1))*(1-P(2))*P(3)
= 0,9*0,2*0,3 + 0,1*0,8*0,3 + 0,1*0,2*0,7
= 0,054 + 0,024 + 0,014 = 0,092
б) Вероятность того, что только два стрелка попали в мишень:
P(только 2) = P(1)*P(2)*(1-P(3)) + P(1)*(1-P(2))*P(3) + (1-P(1))*P(2)*P(3)
= 0,9*0,8*0,3 + 0,9*0,2*0,7 + 0,1*0,8*0,7
= 0,216 + 0,126 + 0,056 = 0,398
в) Вероятность того, что все три стрелка попали в мишень:
P(все 3) = P(1)*P(2)*P(3) = 0,9*0,8*0,7 = 0,504
1.3. Ответ на задачу № 1;
Ответ:
а) Вероятность того, что только один из стрелков попал в мишень: 0,092
б) Вероятность того, что только два стрелка попали в мишень: 0,398
в) Вероятность того, что все три стрелка попали в мишень: 0,504
Задача № 2:
2.1. Текст задачи № 2;
Для контроля влажности воздуха в теплице агрохолдинга установлены три датчика. Вероятности ошибки в их показаниях равны 0,011 для первого, 0,013 − для второго, 0,009 − для третьего. Контролер наугад выбирает датчик и снимает его показания.
а) Какова вероятность того, что показание ошибочно?
б) Какова вероятность того, что были сняты показания со второго датчика, если они оказались ошибочными
2.2. Решение задачи № 2;
Дано:
P(ошибка1) = 0,011 – вероятность ошибки первого датчика
P(ошибка2) = 0,013 – вероятность ошибки второго датчика
P(ошибка3) = 0,009 – вероятность ошибки третьего датчика
а) Вероятность того, что показание ошибочно:
Так как датчик выбирается наугад, вероятность выбора каждого датчика равна 1/3.
P(ошибка) = 1/3 * P(ошибка1) + 1/3 * P(ошибка2) + 1/3 * P(ошибка3)
= 1/3 * (0,011 + 0,013 + 0,009) = 1/3 * 0,033 = 0,011
б) Вероятность того, что были сняты показания со второго датчика, если они оказались ошибочными:
Для решения этой части используем формулу Байеса:
P(2|ошибка) = P(ошибка2) * P(2) / P(ошибка)
Где:
P(2) = 1/3 (вероятность выбора второго датчика)
P(ошибка2) = 0,013
P(ошибка) = 0,011 (из пункта а)
P(2|ошибка) = 0,013 * (1/3) / 0,011 = 0,3939 ≈ 0,394