Задача потребительского выбора. Задача производителя

Тема 4. Задача потребительского выбора
Пусть предпочтения потребителя описываются функцией полезности u(x,y). Доход потребителя составляет I ден.ед. Цены товаров равны соответственно p_x,p_y ден.ед.
а) u(x,y)=x^a y^b,a,b>0
б) u(x,y)=min⁡{x/a,y/b},a,b>0
в) u(x,y)=ax+by,a,b>0

Задание 1. Определение локального рыночного равновесия потребителя
1) Описать предпочтения потребителя по виду функции полезности, объяснить смысл значений параметров каждой функции
2) Проверить выполнение основных свойств функции полезности
3) Решить задачу потребительского выбора в общем виде (не приписывая конкретных значений параметрам, ценам и доходы), найти функции спроса по Маршаллу и косвенную функцию полезности.
4) Задать параметры, цены на товары и доход, найти точку равновесия потребителя. Дать графическую интерпретацию решения задачи.
5) Сделать выводы.
Решение
1) Описать предпочтения потребителя по виду функции полезности, объяснить смысл значений параметров каждой функции
а) u(x,y)=x^a y^b,a,b>0
Зависимость носит степенной характер. Параметры в степени показывают, как меняется полезность при увеличении потребления (масштаб)
б) u(x,y)=min⁡{x/a,y/b},a,b>0
Потребитель выбирает минимум.
в) u(x,y)=ax+by,a,b>0
Линейная зависимость. При изменении параметра на 1, полезность растет на значение коэффициента.
2) Проверить выполнение основных свойств функции полезности
Свойства:
1. Полезность должна расти и по x и по y - выполнено
2. Кривые безразличия имеют отрицательный наклон - выполнено
3) Решить задачу потребительского выбора в общем виде (не приписывая конкретных значений параметрам, ценам и доходы), найти функции спроса по Маршаллу и косвенную функцию полезности.
p_x x+p_y y=I
y=(I-p_y x)/p_x
u(x,y)=x^a ((I-p_y x)/p_x )^b,a,b>0
u(x,y)=min⁡{x/a,((I-p_y x)/p_x )/b},a,b>0
u(x,y)=ax+b (I-p_y x)/p_x ,a,b>0
Полезность должна быть максимальной, считаем производную и приравниваем к 0:
ax^(a-1) ((I-p_y y)/p_x )^b-(bx^a p_y)/p_x ((I-p_y x)/p_x )^(b-1)=0
min⁡{1/a,((-p_y)/p_x )/b}=0
a+b (-p_y)/p_x =0

4) Задать параметры, цены на товары и доход, найти точку равновесия потребителя. Дать графическую интерпретацию решения задачи.
2x+y=10
y=(10-2x)/1
u(x,y)=x^2 y^2,a,b>0
u(x,y)=min⁡{x/2,y/3},a,b>0
u(x,y)=2x+5y,a,b>0
Найдем точку равновесия:
{█(2x+y=10@u(x,y)=x^2 y^2 )┤
Найдем точку касания - это значение, в которых y и yu совпадают.
y=10-2x
y^2=u(x,y)/x^2
10-2x=u(x,y)/x^2
Подбором найдем такое значение.

5) Сделать выводы.
В результате анализа изучены функции потребления.

Задание 2. Исследование функций спроса
1) Используя функции обыкновенного спроса, полученные ранее в Задании 1, построить:
- кривую "цена-потребление" и кривые спроса на товары
- кривые "доход-потребление" и кривые Энгеля для каждого товара
2) Для каждого товара найти эластичность спроса по доходу, прямую и перекрестную эластичности спроса по цене
3) Сделать выводы
Решение
Линия цена-потребление проходит через все точки потребительского равновесия, связанные с изменением цены одного из товаров. На ее основе строится кривая индивидуального спроса.
Кривая «цена-потребление»

Кривая индивидуального спроса на товар х.
(х – нормальное благо)
Вид кривой Энгеля зависит от эластичности покупок блага в зависимости от дохода.

Кривая Энгеля для нормальных товаров

Задание 3. Эффекты компенсации
1) Используя функции обыкновенного спроса, полученные ранее в Задании 1 полагая, что цена товара x увеличилась на 30%, найти:
- величину компенсирующего дохода по Хиксу и по Слуцкому
- общий эффект изменения величины спроса на товары при изменении цены p_x