Структурный расчет надежности системы. получение аналитического выражения вероятности безотказной работы системы исходя из заданной надёжностной схемы

Часть 1
Цель работы: получение аналитического выражения вероятности безотказной работы системы исходя из заданной надёжностной схемы (рис. 1) соединения и значений одного из показателей надежности ее элементов.
Исходные данные. Схема расчета надежности системы приведена на рисунке 1. Вероятности безотказной работы элементов в течение времени t=500 часов имеют следующие значения: P_1 (500)=0,92, Р_2 (500)=0,95, Р_3 (500)=0,97, Р_4 (500)=0,90. Справедлив экспоненциальный закон надежности.
Задание:
1. Определить функции надежности подсистем I, II, III, а также системы в целом ( Р_с,F_с,λ_с,Т_ср,f_с).
2. Построить графики функции надежности P(t), ненадежности F(t), частоты отказов f(t) системы в диапазоне от 0 до Т_ср.


Решение:
1. Из формулы для вероятности безотказной работы для экспоненциального закона распределения находим интенсивности отказов элементов:
█(P=e^(-λt),#(1) )
█(λ=-ln⁡P/t,#(2) )
Часть 2
Система состоит из 4 или 3 блоков (надежностная схема на рис. 5). Интенсивность отказов первого и четвертого блока равна λ_1=λ_4=a⋅〖10〗^(-3) 1/ч. Интенсивности отказов двух остальных блоков зависят от времени и определяются формулами λ_2=b⋅〖10〗^(-4)⋅t^α 1/ч, λ_3=c⋅〖10〗^(-4)⋅t^β 1/ч.
Задача:
1. Рассчитать показатели надежности всей системы P_c (t),F_c (t),λ_c (t),f_c (t) в течение времени T часов.
2. Определить: среднюю наработку до отказа T_cp, при условии, что интенсивности отказов блоков и подсистем равны λ_i=λ_i (T).
3. Построить графики функции надежности P_c (t), ненадежности F_c (t)и частоты отказов f_c (t) системы в диапазоне от 0 до T_cp часов.

Решение:
1. Элементы 1 и 4 связаны последовательно, заменим их квазиэлементом A, тогда схема надежности системы будет иметь вид (рис. 6).
Рисунок 6 – Упрощенная схема надежности системы
2. Рассчитаем вероятность безотказной работы блоков
█(P=exp⁡(-∫_0^t▒λ(t)dt),#(8) )
P_1=P_4=exp⁡(-λ_1 t)=e^(-0,14⋅〖10〗^(-3)⋅110)=0,9847,
P_2=exp⁡(-∫_0^t▒〖b⋅〖10〗^(-4)⋅t^α dt〗)=exp⁡(-b⋅〖10〗^4⋅∫_0^t▒〖t^α dt〗)=exp⁡(-b⋅〖10〗^(-4)⋅(t^(α+1)/(α+1)-0))=exp⁡(-b⋅〖10〗^(-4)⋅(t^(α+1)/(α+1)))=exp⁡(-0,35⋅〖10〗^(-4)⋅〖110〗^3,5/3,5)=2,3661⋅〖10〗^(-61)
P_3=exp⁡(-∫_0^t▒〖c⋅〖10〗^(-4)⋅t^β dt〗)=exp⁡(-0,07⋅〖10〗^(-4)⋅〖110〗^2,1/2,1)=0,9375
По формуле (7) определяем вероятность безотказной работы квазиэлемента A:
P_A=P_1 P_4=0,9847⋅0,9847=0,9697
Т. к. элементы A и 2 соединены параллельно, то их можно заменить квазиэлементом B (рис. 7)