Определение опорных реакций Построение эпюр

Дано:

????2=20 кН ????2=20 кН∙м ????2=20 кН/м ????=2 м




Решение.

1 Определение опорных реакций Построение эпюр




Рисунок 1 – Расчетная cхема


Для заданной расчетной схемы балки строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Определяем опорные реакции:

∑????(????)=0 ∑????(????)=????????+????−????∙5−????∙3∙3,5=0 ????????=−????+????∙5+????∙3∙3,5=−20+100+210=290 кН∙м ????В=????∙3+????∙3∙1,5=60+90=150 кН∙м ????В′=????∙3+????∙3∙1,5−????=60+90−20=130 кН∙м


Проверка: ∑????=0; ????????−????−????∙3=0 ????????=20+20∙3=80 кН 80−20+60=0


2 Построение эпюр



Рисунок 2 – Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов


Опасное сечение:

точка В – где действует ????????????????=80 кН; М????????????=150 кН∙м

Требуемый момент сопротивления поперечного сечения балки: ????????≥М????????????[????]=150∙106160=937500 мм3=937,5 см3



3 Подбор сечений балки заданной формы


а) Прямоугольное сечение: ????????=????∙ℎ26=????∙(2∙????)26=23∙????3 23∙????3=????????⟹????=√3∙????????23=√1,5∙937,53=11,2 см

????=11,2 см; ℎ=22,4 см;А=????∙ℎ=11,2∙22,4=251 см2

б) круглое сечение: ????????=????∙????332≈0,1∙????3⟹????=√10∙????????3=√10∙937,53≈21 см А=????∙????24=3,14∙2124=346 см2

в) Кольцевое сечение: С=????????=0,8 ????????=????∙????332∙(1−????4)≈0,1∙????3∙(1−????4) ????=√10????????1−????43=√10????????1−0,843=√93751−0,843=25,1 см ????=0,8∙????=20,1 см А=????∙????24∙(1−????2)=3,14∙25,124∙(1−0,82)=178 см2

г) Двутавровое сечение по таблице сортамента:

I №40, ????????=953 см3

Проверим прочность балки: ????????????????=М????????????=150∙106953∙103=157 МПа. А=72,6 см2

Недогрузка 1,3%, оставляем I №40.

д) Сечение из двух швеллеров.

Определяем момент сопротивления швеллера: ????????[=????????2=906.252=453 см3

По таблице ГОСТ-а швеллер №33У ????????[=484 см3 А=2∙46,5=93 см2 ????????????????=М????????????=150∙1062∙484∙103=155 МПа


4 Проверка прочности балки по касательным напряжениям

а) Прямоугольное сечение: ????????????????=32∙????????????????????=3∙80∙1032∙247∙102=3∙8002∙247=4,9 МПа ????????????????=4,9<[????] МПа.

б) круглое сечение: ????????????????=43∙????????????????????=4∙80∙1033∙346∙102=4∙8003∙346=3,1 МПа ????????????????=3,1<[????] МПа.

в) Кольцевое сечение: ????????????????≈2∙????????????????????=2∙80∙103175∙102=2∙800174=9,2МПа ????????????????=9,2<[????] МПа.

г) Двутавровое сечение по таблице сортамента: ????=????????????????∙????????отс????????∙????

????????отс - статический момент отсеченной части сечения (расположенной выше или ниже уровня данной точки) относительно нейтральной оси; ???????? – момент инерции сечения относительно нейтральной оси; ???? – ширина сечения на уровне рассматриваемой точки. ????=80∙103∙545∙10319062∙104∙15,5=14,6 МПа.

д) Сечение из двух швеллеров.

По таблице ГОСТ-а швеллер №33У. ????=800∙103∙281∙1032∙7980∙103∙10,5=13,3 МПа. ????????????????=13,2<[????] МПа

Вывод: Прочность балок по касательным напряжениям обеспечена.


5 Подбор сечения сложной формы


Определяем площади составных частей: А1=2∙????∙4∙????=8∙????2 А2=А3=4∙????2


Определяем площадь всего сечения:

А = А1 + 2A2 = 8t2 + 4t2 = 16t2.


Рисунок 3 – Сложное сечение


Обозначаем центры тяжести составных частей. Проводим вспомогательную ось Х1:

Определяем расстояния от точек С1, С2 и С3 до оси Х1:

????????????=0; ????????2=????????3=3∙???? Определяем статистические моменты составных частей относительно оси Х1: ????????1????=0; ????????1????????=????????1????????????=????2∙????????2=4∙????2∙3∙????=12∙????3 Определяем статистический момент всего сечения относительно оси Х1: ????????1=????????1????+2∙????????1????????=2∙12∙????3=24∙????3

Определяем расстояние от центра тяжести всего сечения до оси Х1: ????????=????????1????=24∙????316∙????2=3????2=1,5????

Определяем главные центральные моменты инерции составных частей сечения: ????????1????=????∙ℎ312=4????∙(2????)312=2,67∙????4 ????????2????????=????????3????????????=????∙(4????)312=5,33∙????4

Определяем расстояние между осями: ????−????1; ????−????2; ????−????3; ????1=1,5????; ????2=????????2−????????=3????−1,5????=1,5????; ????3=????2=1,5????.

Определяем моменты инерции составных частей сечения относительно оси Х. ????????????=????????1????+????12∙????1=2,67∙????4+(1,5????)2∙8∙????2=20,67∙????4 ????????????????=????????????????????=????????2????????+????22∙????2=14,33∙????4

Определяем момент инерции всего сечения относительно оси Х. ????????=????????????+2∙????????????????=49,33∙????4