электродинамика

19.18 Шар из диэлектрика (ε_r=3) заряжен и расположен в воздухе. Объем-ная плотность заряда является функцией расстояния R от центра шара: ρ=kR, где k = 1/(10 π) Кл/м4. Радиус шара R0 = 1 см. Найти законы измене-ния потенциала φ и напряженности поля внутри и вне шара в функции расстояния R от его центра. Принять φ = 0 при R=∞. Рассчитать напряже-ние между точками А и В (UAB), сферические координаты которых RA = 5 10-3 м; α_A=〖180〗^o;θ_A=〖60〗^o, RB = 2 10-2 м; θ_B=〖90〗^o;α_B=〖90〗^o.
Решение Применим постулат Максвелла
∫_s▒Dds=∫_v▒ρdv
где s – сферическая поверхность радиусом R c центром, совпадающим с центром шара v – объем, заключенный внутри этой поверхности. Перепишем уравнение с учетом симметрии поля
D_R∙4πR^2=k 4π∫_0^R▒〖R^3 dR〗
Отсюда находим радиальную составляющую вектора электрического смещения:
DR = 0,25·k·R2.
Напряженность электрического поля, которая также как и вектор электрического смещения направлена по радиусу, внутри шара будет равна
E = DR/ε_r ε_0=0,25k R^2/ε_r ε_0=3∙〖10〗^8 R^2
Вне шара (R>R0) электрическое смещение, исходя из постулата Максвелла, определяется следующим образом:
D_R∙4πR^2=k 4π∫_0^(R_0)▒〖R^3 dR〗

Следовательно, электрическое смещение и напряженность поля будут равны: D_R=0,25 kR_0^4/R^2
E=D_R/ε_0 =0,25 k R_0^4 /〖ε_0 R〗^2=9/R^2.
Потенциал поля внутри шара можно определить по формуле
U_1=-∫▒EdR=-k/(4ε_r ε_0 ) R^3/3+C_1,
где С1 – постоянная интегрирования.
Принимая потенциал бесконечно удаленной точки равным нулю, определим потенциал любой произвольной точки в области вне шара. U_2=∫_R^∞▒EdR=(kR_0^4)/(4ε_0 ) ∫_R^∞▒dR/R^2 =(kR_0^4)/(4ε_0 R).
Постоянную интегрирования С1 можно определить из условия равенства потенциалов U1 и U2 на поверхности шара (при R = R0). ├ U_1 ┤| ■(@R=R_0 )=├ U_2 ┤| ■(@R=R_0 )=>-k/(12ε_r ε_0 ) R_0^3+C_1=k/(4ε_0 ) R_0^3.
Отсюда С_1=(kR_0^3)/(4ε_0 ) (1/(3ε_r )+1)=1000 В.
UA = U1(5 10-3) = 987 В, UB = U2(2 10-2) = 450 В,
UAB = UA – UB = 537 В.
19.19 Две протяженные тонкие проводящие пластины расположены в воздухе под углом α_0 друг к другу (рис. 19.3,в). Потенциал первой пластины φ_1=0, второй пластины φ_2=U. Пренебрегая краевым эффектом, опреде-лить законы распределения φ и Е в областях: а) 0<α<α_0; б) α_0<α<π; в) π<α<2π. Качественно построить картину поля.

Рис. 19.3, в
Решение
Поле между пластинами является одномерным (все величины зависят только от одной угловой координаты α цилиндрической системы коорди-нат). Потенциал, в этом случае, удовлетворяет уравнению Лапласа с реше-нием U = C1 α + C2.
Постоянные интегрирования определяются из граничных условий.
├ U┤| ■(@α=0)=0; ├ U┤| ■(@α=α_0 )=U_0
или
C1 0 + C2 = 0, C1 α0 + C2 = U0. Из данной системы уравнений определяем постоянные интегрирования С2=0, С1=U0/α0. Таким образом, закон изменения искомых функций вдоль угловой
координаты α цилиндрической системы координат можно окончательно представить следующим образом: U=U_0/α_0 α;E=-1/r dU/dα=-U_0/(α_0 r). Как видно из последних выражений, эквипотенциальными поверхностями являются полуплоскости, проходящие через ось OZ и изолированные друг от друга, а линиями поля являются дуги окружностей с центром в начале координат.

Рис. 19.19 - 1

19.20 Две тонкие конические поверхности расположены в вакууме. Верши-ны конусов изолированы друг от друга (рис. 19.3, г). Потенциал первой пове-рхности φ_1=U, второй поверхности φ_2=0. Пренебрегая краевым эффе-ктом, определить законы распределения φ и Е между поверхностями. Каче-ственно построить картину поля.