Методы принятия оптимальных решений

2. Построить на плоскости область решений линейных неравенств и геометрически найти максимальное и минимальное значения целевой функции в этой области.
{█(x_1+〖4x〗_2≥15@-2x_1+〖3x〗_2≤3@3x_1+x_2≤23)┤
z=2x_1+x_2
РЕШЕНИЕ:
Строим на плоскости область решений линейных неравенств:
Шаг №1
Рассмотрим неравенство x_1+〖4x〗_2≥15 (1) системы ограничений.
Построим прямую: x_1+〖4x〗_2=15
При x1 =0 => 4 x2 = 15 => x2 = 15/4
При x2 =0 => x1 = 15
Найдены координаты двух точек (0, 15/4) и (15 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (1). Перенесем все в правую часть неравенства, оставив в левой части только x2: x2 ≥ - 1/4 x1 + 15/4
Знак неравенства ≥ , следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (1).
Шаг №2
Рассмотрим неравенство -2x_1+〖3x〗_2≤3 (2) системы ограничений.
Построим прямую: -2x_1+〖3x〗_2=3
При x1 =0 => 3 x2 = 3 => x2 = 1
При x2 =0 => - 2 x1 = 3 => x1 = -3/2
Найдены координаты двух точек (0, 1) и (-3/2 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (2).
Перенесем все в правую часть неравенства, оставив в левой части только x2: x2 ≤ 2/3 x1 + 1
Знак неравенства ≤ , следовательно, нас интересуют точки расположенные ниже построенной прямой (2).
Шаг №3
Рассмотрим неравенство 3x_1+x_2≤23 (3) системы ограничений.
Построим прямую: 3x_1+x_2=23
При x1 =0 => x2 = 23
При x2 =0 => 3 x1 = 23 => x1 = 23/3
Найдены координаты двух точек (0, 23) и (23/3 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (3).
Перенесем все в правую часть неравенства, оставив в левой части только x2: x2 ≤ - 3 x1 + 23
Знак неравенства ≤ , следовательно, нас интересуют точки расположенные ниже построенной прямой (3).
В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке:

Геометрически находим максимальное и минимальное значения целевой функции в построенной области
Шаг №4
Строим вектор C = (2, 1), координатами которого являются коэффициенты функции z.
5.1.
Будем перемещать "красную" прямую, перпендикулярно вектору C, от левого нижнего угла к правому верхнему.
В точке, в которой "пунктирная красная" прямая в первый раз пересечет область допустимых решений, функция z достигает своего наименьшего значения.
Функция z достигает наименьшего значения в точке A. (см. рисунок справа)
Точка A одновременно принадлежит прямым (1) и (2). Составим систему уравнений:
{█(x_1+〖4x〗_2=15@-2x_1+〖3x〗_2=3)┤ откуда находим x_1=3; x_2=3
Вычислим значение функции z в точке A(6,5): z(A)=2∙3+3=9
5.2.
Будем перемещать "красную" прямую, перпендикулярно вектору C, от левого нижнего угла к правому верхнему.
В точке, в которой "красная" прямая в последний раз пересечет область допустимых решений, функция Z достигает своего наибольшего значения.
Функция Z достигает наибольшего значения в точке A.
Точка A одновременно принадлежит прямым (2) и (3). Составим систему уравнений:
{█(-2x_1+〖3x〗_2=3@3x_1+x_2=23)┤ откуда находим x_1=6; x_2=5
Вычислим значение функции z в точке В(6,5): z(B)=2∙6+5=17
ОТВЕТ:
наименьшего значения F min = 9 функция достигает при x1 = 3; x2 = 3;
наибольшего значения F max = 17 функция достигает при x1 = 6; x2 = 5. 
12. Решить задачу с помощью симплекс-метода.
Найти максимум целевой функции при данной системе ограничений.
z=300x_1+250x_2+450x_3
{█(15x_1+20x_2+25x_3≤120@2x_1+3x_2+2,5x_3≤150@35x_1+60x_2+60x_3≤300@x_j≥0 (j=1,2,3) )┤
РЕШЕНИЕ:
1. Свободные члены системы должны быть неотрицательными.
Данное условие выполнено.

2. Каждое ограничение системы должно представлять собой уравнение.
{█(15x_1+20x_2+25x_3+S_1=120@2x_1+3x_2+2,5x_3+S_2=150@35x_1+60x_2+60x_3+S_3=300)┤
S1 ≥ 0, S2 ≥ 0, S3 ≥ 0. Введенные переменные S1, S2, S3, называются балансовыми переменными.

3. Нахождение начального базиса и значения функции F, которое соответствует найденному начальному базису.
Переменная называется базисной для данного уравнения, если она входит в данное уравнение с коэффициентом один и не входит в оставшиеся уравнения (при условии, что в правой части уравнения стоит положительное число).
Если в каждом уравнении присутствует базисная переменная, тогда говорят, что в системе присутствует базис.
Переменные, которые не являются базисными, называются свободными.
Идея симплекс метода заключается в том, чтобы переходить от одного базиса к другому, получая значение функции, как минимум, не меньше