Для того чтобы варианта xn имела своим пределом постоянное число а, необходимо и достаточно, чтобы разность между ними αn = xn – а была бесконечно малой.
В связи с этим можно было бы дать и для понятия «предел» другое определение (равносильное старому):
Постоянное число а называется пределом варианты xn, если разность между ними есть бесконечно малая величина.
Разумеется, если исходить из этого определения предела, то для бесконечно малой нужно использовать второе из приведенных выше определений. Иначе получился бы порочный круг: предел определялся бы через бесконечно малую, а бесконечно малая - через предел!
Итак, если варианта xn → а, то она может быть представлена в виде
xn = а + αn ,
где αn есть бесконечно малая, и обратно, если варианта xn допускает такое представление, то она имеет пределом а. Этим часто пользуются на практике для установления предела переменной.
Бесконечно большие величины
Бесконечно малым величинам, в некотором смысле, противопоставляются бесконечно большие величины (или просто бесконечно большие).
Варианта xn называется бесконечно большой, если она по абсолютной величине становится и остается большей сколь угодно большого наперед заданного числа Е>0, начиная с некоторого места:
| xn |> E (для n>NE).
Как и в случае бесконечно малых, здесь также следует подчеркнуть, что ни одно в отдельности взятое значение бесконечно большой величины не может быть квалифицировано, как «большое»; мы имеем здесь дело с переменной величиной, которая лишь в процессе своего изменения способна сделаться большей произвольно взятого числа Е.
Примерами бесконечно больших могут служить варианты
x_n=n; x_n=-n; x_n=(-1)^(n+1) n,
которые пробегают натуральный ряд чисел, но первая со знаком плюс, вторая со знаком минус, третья же - с чередующимися знаками.
Вот еще один пример бесконечно большой величины:
x_n=Q^n при |Q|>1.
Действительно, каково бы ни было Е>0, неравенство
|x_n |=|Q|^n>E
выполняется, лишь только
nlog|Q| >logE
или
n >logE/log|Q| ,
так что за NE можно взять число
E(logE/log|Q| ).
Если варианта xn является бесконечно большой и (по крайней мере, для достаточно больших n) сохраняет определенный знак (+ или -), то, в соответствии со знаком, говорят, что варианта xn имеет предел + ∞ или - ∞, и пишут:
〖limx〗_n=+∞,〖x〗_n→+∞
или
〖limx〗_n=-∞,x_n→-∞.
Можно было бы дать для этих случаев и независимое определение, заменив неравенство |x_n |>E, смотря по случаю, неравенством
x_n>E или, x_n<-E,
откуда уже вытекает, соответственно, что xn > 0 или xn <0.
Очевидно, что бесконечно большая величина в общем случае характеризуется соотношением:
|x_n |→+∞.
Из приведенных выше примеров бесконечно больших величин, очевидно варианта x_n=n стремится к + ∞, варианта x_n=-n стремится к
- ∞. Что же касается третьей варианты: x_n=(-1)^(n+1) n,, то про нее нельзя сказать ни что она стремится к + ∞ , ни что она стремится к – ∞.
Наконец, относительно варианты x_n=Q^n при Q >1 можно сказать, что она стремится к + ∞, а при Q < -1 у нее предела нет.
Введение бесконечных пределов не нарушает теоремы о единственности предела, действительно, варианта, имеющая конечный предел а, является ограниченной и, следовательно, никак не может одновременно стремиться к бесконечному пределу.
В заключение упомянем о простой связи, которая существует между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами:
Если варианта xn является бесконечно большой, то ее обратная величина будет бесконечно малой.
Возьмем любое число ε > 0. Так как, то для числа E=1/ε найдется такой номер N, что
|x_n |>1/ε , лишь только n>N.
Тогда для тех же значений n, очевидно, будет
| αn | < ε,
что и доказывает наше утверждение.
Аналогично можно доказать и обратное утверждение:
Если варианта αn (не обращающаяся в 0), является бесконечно малой, то обратная для нее величина x_n = 1/∝ будет бесконечно большой.
Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов
Предельный переход в равенстве и неравенстве.
Соединяя две варианты xn и уn знаками равенства или неравенства, мы всегда подразумеваем, что речь идёт о соответствующих значениях, т. е. о значениях с одним и тем же номером.
1° Если две варианты xn и уn при всех их изменениях равны:
xn = уn , причем каждая из них имеет конечный предел:
lim xn = а, lim уn = b, то равны и эти пределы: а = b.
Непосредственно следует из единственности предела.
Этой теоремой пользуются обычно в форме предельного перехода в равенстве: из xn = уn заключают, что lim xn = lim уn.
2° Если для двух вариант xn и уn всегда выполняется неравенство xn ≥ уn, причем каждая из них имеет конечный предел:
lim xn = а, lim уn = b,
то и а ≥ b.
Допустим противное: пусть а < b. Возьмем число r между а и b, так что а < r
xn < r, уn >r откуда xn < уn,
что противоречит предположению. Теорема доказана.
Эта теорема устанавливает допустимость предельного перехода в неравенстве (соединенном с равенством): из xn ≥ уn можно заключить, что
lim xn ≥ lim уn. Конечно, знак > всюду может быть заменен знаком <.
Нужно обратить внимание на то, что из строгого неравенства xn > уn, вообще говоря, не вытекает строгое же неравенство lim xn > lim уn, а только, по-прежнему: lim xn ≥ lim уn. Так, например, 1/n>-1/n при всех n, и тем не менее
lim 1/n=lim(-1/n)=0.
При установлении существования и величины предела варианты иногда бывает полезна теорема:
3° Если для вариант xn , уn , zn всегда выполняются неравенства
