Курсовая работа по высшей математике на тему Приближенное вычисление значений определённого интеграла

1 Метод трапеции и метод Чебашева
1.1 Метод трапеции
Рассмотрим вычисление определенного интеграла методами трапеции и Чебышева [1-6].
Метод трапеции. Пусть требуется вычислить определенный интеграл . где . . Данная подынтегральная функция непрерывна на отрезке . Примем шаг разбиения равным . Тогда. узлы разбиения определяются выражением:

(1)

В нашем случае .
Как известно из теории. приближенное значение интеграла равно:

(2)

Данное выражение получается путем замены подынтегральной функции интерполяционным многочленом первой степени, постоянным по узлам , т.е. функцией

(3)

Вычислим приближенное значение интеграла. согласно формуле (2.2).
Вычислим сумму ряда

(4)

Далее, находим приближенное значение интеграла:

(5)

Оценим погрешность метода.
Для оценки погрешности достаточно вспомнить, что

(6)

Отсюда следует,

(7)

Cледовательно,

(8)

где

(9)

Вычислим вторую производную :

(10)

Найдем критические точки :

(11)
Вычислим значение на границах интервала:

(12)

Таким образом, максимальное значение принимает в точке :
Вычислим погрешность с помощью (2.7):

(13)

1.2 Метод Чебышева

Рассмотрим метод Чебышева. Рассмотрим квадратурную формулу Чебышева:

(14)

где - коэффициенты.
Зададим коэффициенты так, чтобы они были равны между собой. Абсциссы будем выбирать таким образом, чтобы квадратурная формула (14) являлась точной для всех полиномов до степени включительно.