Курсовая работа по математике на тему Реализация межпредметных связей при изучении темы

Введение
Тема «Производная» - это один из важнейших разделов курса математического анализа, так как это понятие является основным в дифференциальном исчислении и служит исходной базой при построении интегрального исчисления. Но часто, ученики, сталкиваясь с этим понятием в первый раз, не понимают для чего нужно его изучать. Они не видят практического применения этой темы. Поэтому данный проект «Применение производной» направлен на то, чтобы ученики выяснили, зачем нужно изучать производную, где можно использовать знания, связанные с производной в жизни, а также в других предметах.
Актуальность выбранной темы состоит в широком применении дифференциального исчисления для экономического анализа как математического аппарата. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.
Целью работы было: изучение применения производной для решения задач по алгебре и началам анализа, физике, экономике; углубление и расширение знаний по теме «Производная».
Объект: процесс изучения применения производой в различных отраслях знаний. Предмет: внутрипредметные и межпредметные связи при изучении «производной».
Для достижения цели были поставлены следующие задачи:
1. Изучить применения производной для решения задач по алгебре и началам анализа, физике, экономике
2. Раскрыть сущность внутрипредметных и межпредметных связей при изучении «производной». 
1. Теоретические основы обучения учащихся теме «Производная» в средней школе
1.1. Производная в школьном курсе математики
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Заметим, что при определении касательной к кривой и мгновенной скорости неравномерного движения, по существу, выполняются одни и те же математические операции:
Заданному значению аргумента дают приращение и вычисляют новое значение функции, соответствующее новому значению аргумента.
Определяют приращение функции, соответствующее выбранному приращению аргумента.
При исследовании функции очень часто приходится применять производные. Одной из основных задач при исследовании функции является определение промежутков возрастания и убывания функции. Это исследование очень легко можно произвести с помощью производной функции.
Признаки возрастания функции
Если f’(x)>0 на некотором промежутке, то функция f(x) возрастает на данном промежутке
Признак убывания функции
Если f’(x)<0 на некотором промежутке, то функция f(x) убывает на данном промежутке.
Строгое доказательство этих двух признаков изучается в курсе математического анализа, здесь же мы его приводить не будем.
Помимо, определения промежутков возрастания и убывания функции, с помощью производной при исследовании функции находят точки максимума и минимума этой функции.
Точки максимума и минимума функции называют еще точками экстремума.
Для отыскания точек экстремума существует отдельный признак.
Достаточное условие существование экстремума в точке.
Пусть f(x) некоторая дифференцируемая на интервале (a;b) функция. Точка х0 принадлежит этому интервалу и f’(x0)=0.
Тогда:
• 1. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «плюса» на «минус», тогда точка х0 является точкой максимума функции.
• 2. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «минуса» на «плюс», тогда точка х0 является точкой минимума функции.
Поставим своей задачей определить скорость, с которой изменяется величина у в зависимости от изменения величины х. Так как нас интересуют всевозможные случаи, то мы не будем придавать определенного физического смысла зависимости y=f(x), т.е. будем рассматривать величины х и у как математические.
Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на отрезке [а, b]. Возьмем два числа на этом отрезке: х и х+∆x; первое, х, в ходе всего рассуждения считаем неизменным, ∆x — его приращением. Приращение ∆x; аргумента обусловливает приращение ∆у функции, причем:
∆y=f(x+∆x)-f(x). (I)
Найдем отношение приращения ∆у функции к приращению ∆x аргумента:
∆у/∆x=(f(x+∆x)-f(x))/ ∆x. (II)
По предыдущему, это отношение представляет собой среднюю скорость изменения у относительно х на отрезке
[x, x+∆x].
Будем теперь неограниченно приближать ∆x к нулю.
Для непрерывной функции f(x) стремление ∆x к нулю вызывает стремление к нулю ∆у, отношение (II) становится при этом отношением бесконечно малых, вообще величиной переменной. Пусть это переменное отношение (II) имеет вполне определенный предел(утверждать, что определенный предел отношения ∆x/∆у всегда существует нельзя), обозначим его символом f '(х).
lim((f(x+∆x)-f(x))/ ∆x)=f’(x)
∆x→0 (III)
С физической точки зрения этот предел есть значение скорости изменения функции f(x) относительно ее аргумента при данном значении х этого аргумента. В анализе этот предел называют производной данной функции в точке х.
Определение. Производной данной функции в точки х называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента в точке х, когда приращение аргумента стремится к нулю.
2°. Пусть каждому значению аргумента х соответствует определенное значение скорости изменения функции f(x). Тогда скорость f '(х) есть новая функция аргумента х, она называется производной функцией от данной функции f(x).
Например, производная функция от квадратной функции Q=bt+at2 есть линейная функция Q' = b + 2at.
3°. Производная функция обозначается так: 1) у данной функции ставится штрих на том месте, где обычно помещается показатель степени, или 2) перед обозначением
данной функции ставится символ d/dx.
Если данная функция обозначена буквой у, то ее производная может быть обозначена:
1) у', читать: «производная функции у»,
или
2) dy/dx, читать: «дэ игрек по дэ икс».
Если данная функция обозначена символом f(x), то ее производная может быть обозначена:
1) f '(х), читать: «производная функции f(x)»,
или же
2) df(x)/dx, читать: «дэ эф от икс по дэ икс».
4°. Нахождение производной от данной функции называется дифференцированием данной функции.
Общее правило дифференцирования (нахождения производной) следующее:
1) найти приращение ∆y функции, т. е. разность значений функции при значениях аргумента x + ∆x и x;
2) найти отношение ∆y/∆x, для этого полученное выше равенство разделить на ∆x;
3) найти предел отношения ∆y/∆x при ∆x →0.
Пример. Найти производную функции у = х3 + 1 в любой точке x.
Решение. 1) ∆y = (x + ∆x)3 + 1 — (х3 + 1).
По выполнении действий:
∆y = Зx2*∆x+Зx*∆x 2+∆x 3;
2) ∆y/∆x=3x2 + Зx*∆x+∆x 2;
3) dy/dx = lim(3x2+3x*∆x+∆x 2 = 3x2+3x*0+0 = 3x2.
∆x→0
5°. Заметим, что производная линейной функции у= =kx+b есть величина постоянная, равная k.
Действительно, для линейной функции y = kx+b
∆у = k*∆x;
∆y/∆x=k;

6°. Производные часто встречаются в технике и естествознании. Примеры производных: 1) при движении тела пройденный путь s есть функция от времени t скорость движения в данный момент времени t есть производная от пути s по времени t, т. е.
υ=ds/dt;
2) при вращательном движении твердого тела (например, маховика) (черт) вoкруг оси Ох, угол поворота его φ есть функция времени t:
φ=f(t);
угловая скорость (омега) в данный момент времени t есть производная от угла поворота по времени, т. е.

ω=dφ/dt;
3) при охлаждении тела температура Т тела есть функция времени t,
T=f(t);
скорость охлаждения в момент времени t есть производная от температуры Т по времени с, т. е. dT/dt;
4) теплоемкость С для данной температуры t есть производная от количества теплоты Q по температуре t,
C=dQ/dt;
5) при нагревании стержня его удлинение ∆l, как показывают тщательные опыты, лишь приближенно можно считать пропорциональным изменению температуры Дt. Поэтому функция l=f(t) является не линейной, а отношение ∆l/∆t лишь средним коэффициентом линейного расширения на отрезке [t, t+Дt]. Коэффициент линейного расширения а при данном значении температуры t есть производная от длины l по температуре t,
α=dl/dt