Развитие математической культуры обучающихся 10-11 классов при изучении темы

Введение Важнейшая составная часть содержания математического образования - формирование математической культуры. Чтобы обеспечить высокую эффективность организации учебнопознавательной деятельности и разрешения проблемы математической культуры, необходимо проанализировать и научно обосновать ее структуру: выделить такие структурные элементы и их связи, которые обязательно входят в ее состав независимо от предмета, характера, уровня и поэтому включены в содержание общего среднего образования. В настоящее время обществу необходимы люди, способные самостоятельно учиться и постоянно менять спектр своих действий и умений в течение всей своей жизни, которые готовы к активным и целесообразным независимым действиям, и принятию ответственных решений.


Структура и содержание математики в школе обязаны соответствовать главным целям воспитания и обучения. В соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом среднего (полного) общего образования обеспечить сформированность: «представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математики; основ логического, алгоритмического и математического мышления; умений применять полученные знания при решении различных задач; представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления». Школьный курс должен также обеспечивать интерес к предмету у обучающихся, способствовать развитию интеллектуальных способностей, побуждать к творческой деятельности и способствовать воспитанию личности в целом. Глава 1. Теоретические основы использования темы «делимость целых чисел" в целях формирования математической культуры учащихся 1.1. Понятие «математическая культура» Понятие «математическая культура» можно трактовать как степень, уровень развития человека в умении пользоваться математическим языком, при этом такое толкование можно предложить в нескольких вариантах. В этом исследовании впервые дается обоснованное с разных позиций определение математической культуры. Математическая культура - это: 1) совокупность достижений человечества в его умениях пользоваться математическим языком в качестве средства как для общения с людьми, так и для описания и познания окружающей действительности; 2) уровень, степень развития человечества в его умениях пользоваться математическим языком как для общения с людьми, так и для описания и познания окружающей действительности; 3) осознанное пользование математическим языком как для общения с людьми, так и для описания и познания окружающей действительности [24]. Математические способности школьников еще мало изучены, хотя им посвящены отдельные исследования психологов. Академик А. Н. Колмогоров пишет, что «математик не обязательно должен обладать выдающейся памятью, но умелое преобразование сложных буквенных выражений, нахождение удачных путей для решения уравнений, не подходящих под стандартные правила, и т. п. уже ближе соприкасаются с теми способностями, которые часто требуются от математика в серьезной научной работе» [13].


Отметим, что новые школьные программы и учебники по математике делают значительный шаг в указанном направлении, однако данная дидактическая проблема еще далеко не полностью решена. Над проблемой развития математического мышления работали: П.П. Блонский, Л.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн, Н.А. Менчинская Л.В. Занков, В.В. Давыдов, Я.И. Пономарев, Д.Б. Эльконин, П.Я. Гальперин и Н.Ф. Талызина, Е.Н. Кабанова-Меллер, Ю.А. Самарин, З.И. Калмыкова, В.А. Крутецкий и др. 1.2.Понятие числа Понятие числа является одним из фундаментальных понятий школьного курса математики. Оно активно используется при изучении теоретических основ и прикладных методов в школьном курсе информатики. В современной методике обучения математике накоплен большой опыт изучения числа, разработаны различные соответствующие подходы и методы. Целое число, наряду с простейшими геометрическими фигурами, является первым и древнейшим математическим понятием. Теория чисел возникла из задач арифметики, связанных с умножением и делением целых чисел. В Древней Греции (VI в. до н.э.) изучалась делимость целых чисел, были выделены отдельные подклассы целых чисел (например, простые и составные числа). Евклид в «Началах» арифметики дал систематическое построение теории делимости на основе так называемого алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, доказал первую теорему теории простых чисел - бесконечность множества простых чисел. Несколько позднее Эратосфеном найден метод получения простых чисел который стал называться решетом Эратосфена. Систематизация проблем теории чисел и методов их решений проведена Диофантом (III век) в его «Арифметике», где, в частности, дано решение в рациональных числах многих алгебраических уравнений первой и второй степени с целыми коэффициентами от нескольких неизвестных. Расцвет теории чисел начался в Европе с работ П. Ферма (Pierre Fermat). Он исследовал решения многих уравнений в целых числах, в частности, высказал гипотезу, что уравнение xn + yn = Z, n > , не имеет решений в натуральных числах. Это так называемая Великая теорема Ферма или Последняя теорема Ферма (Observatio Domini Petri de Fermat) - одна из самых популярных теорем математики. Ее условие формулируется достаточно просто, однако доказательство Великой теоремы искали многие выдающиеся математики более трехсот лет (Л. Эйлер, П.Г. Дирихле, А.М. Лежандр, Г. Ламе, Э.Э. Куммер и др.). Доказательство было найдено лишь в 1994 году профессором Оксфордского университета


Эндрю Уайлсом (Andrew Whiles). В 2016 году за доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлс получил Абелевскую премию. Важный вклад в теорию чисел внес Л. Эйлер (L. Euler). Он доказал целый ряд теорем о представлении чисел бинарными квадратичными формами. Л. Эйлер был первым, кто для решения задач теории чисел привлек средства математического анализа, что привело к созданию аналитической теории чисел. 1.3.Понятие , свойства делимости Задачи на делимость в школьном курсе математики рассматривают с 5 класса, их изучение происходит постепенно, от простого к сложному, в течение всех лет обучения. В работе рассматриваются решения задач на делимость, поскольку такие задачи в последнее время стали часто встречаться в заданиях ЕГЭ (а именно это 19, 20 задание в базовом уровне и 19 задание в профильном уровне), на вступительных экзаменах в вузы, на олимпиадах. При веем этом, те знания в области решения задач на делимость которые дает школа, их не достаточно для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ, достижения высоких результатов на олимпиадах. Ученикам необходимо детально ознакомиться не только е основными понятиями, но и е основными типами и методами решения таких задач. При этом возникает необходимость в использовании дополнительной литературой, справочниками, пособиями и т. д. Возникает научная проблема: умение решать задачи на делимость является неотъемлемой частью при сдачи ЕГЭ и вступительных экзаменах в вузы, однако знания у учащихся старших классов по этой теме не высокие. Ученики вынуждены самостоятельно более углубленно изучать основные понятия и теоремы делимости чисел, свойства делимости, деление е остатком, простые и составные числа, НОД и НОК, признаки делимости. Много лет назад люди уже были заинтересованы таким вопросом как делимость чисел. Большинство секретов о проблеме делимости чисел были разгаданы за счет большого опыта и труда математиков, однако и на данный момент сеть над чем работать в этом разделе математике. В школьном курсе математики обращается определенное внимание на делимость чисел, В 5 и 6 классе без доказательства формулируются признаки делимости на 2, 5, 10, 3, 9, В 8 классе знакомятся е основами теории делимости, рассматривают и учатся применять признаки делимости (доказанные е помощью «языка конгруэнции» на 9, 3, 11, 4, 25, 8, 125). Однако фрагментарный подход имеет существенные недостатки, так как не дает целостного представления о проблеме в целом и не показывает путей ее решения, Незнание признаков делимости сужает наши возможности в решении многих задач.


Поэтому возникла идея систематизировать сведения по этой теме, рассмотреть различные методы определения делимости двух чисел. Глава 2. Методика изучения темы «Делимость целых чисел» старшей школе, как средство развития математической культуры 2.1. Анализ методики изучения темы «Делимость целых чисел» в методической литературе В работах С.С. Гамидова, М.Н. Кагазежева, К.А. Нечипоренко, Т.Н. Хмара проведен подробный анализ учебно-методической литературы, посвященной вопросам изучения элементов теоретической арифметики и элементов теории чисел в средней школе, обоснована необходимость изучения элементов теоретической арифметики и элементов теории чисел на факультативных занятиях, определен объем и содержание изучаемого материала. В программу факультативных занятий авторы предлагают включать вопросы, связанные с изучением теории делимости целых чисел, элементов теории сравнений, решением диофантовых уравнений. В этих же работах проведен анализ зарубежного опыта преподавания в школе теоретикочислового материала. Отмечается, что в ряде стран (Франция, Бельгия и др.) теория натурального числа излагается на основе общих понятий теории множеств, при этом вычислительная техника играет второстепенную роль. В старших классах во многих странах (Англия, США, Франция и др.) изучаются элементы теории чисел, в частности арифметика вычетов. Изучение операций над классами вычетов рассматривается как шаг к формированию таких общих понятий алгебры, как общее понятие операции, понятие алгебраической структуры. 2.2. Разработка программы элективного курса “Делимость целых чисел, как средство развития математической культуры” для учащихся 11 классов Программа элективного курса «Делимость целых чисел: от учебных задач до олимпиадных» предлагается для изучения в 10-11 классах и рассчитана на 34 часа. Решение различного вида уравнений является одной из содержательных линий школьного курса математики, но при этом, методы решения уравнений с несколькими неизвестными практически не рассматриваются. Большинство методов решения таких уравнений основаны на теории делимости целых чисел, интерес к которой в настоящее время определяется бурным развитием информационных технологий. Знание различных нестандартных свойств делимости позволяет получать короткие и красивые решения сложных олимпиадных задач и задач ЕГЭ части С. Однако программой школьного курса не предусмотрено детальное изучение данной темы. Это возможно сделать в рамках элективного курса.


Данный курс направлен на расширение и углубление базового уровня знаний учащихся по алгебре, является предметно-ориентированным. Он позволит школьникам расширить знания, использовать эти знания при решении различных по содержанию и уровню сложности задач, наиболее качественно подготовиться к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ. Тематика задач, предлагаемых при изучении данного элективного курса, выходит за рамки основного курса, и уровень их трудности – повышенный. Данный элективный курс направлен, прежде всего, на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника в математике, способствует удовлетворению познавательных потребностей школьников. Актуальность данной программы обусловлена ее практиче¬ской значимостью. Применение предлагаемых свойств делимости иллюстрируется на решении многих задач из различных разделов алгебры. Учащиеся могут применить полученные знания и практический опыт при решении практических задач из других естественнонаучных дисциплин. Целесообразность введения данного элективного курса состоит и в том, что содержание курса, форма его организации помогут школьнику через практические занятия оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы и предоставят ему возможность работать на уровне повышенных возможностей. Программа может быть использована в общеобразовательных и профильных классах. Элективный курс «Делимость целых чисел: от учебных задач до олимпиадных» позитивно влияет на мотивацию старшеклассника к учению, развивает его учебную мотивацию по предметам естественно-математического цикла. Задания, предлагаемые программой данного элективного курса, носят исследовательский характер и способствуют развитию навыков рационального мышления, способности прогнозирования результатов деятельности. В основе формирования практических навыков решения математических задач лежат два главных вида деятельности учащихся: это обобщение и систематизация теоретических сведений, полученных ранее и отработка умений и навыков на практике. Содержание курса объединено в 4 тематических модуля: делимость целых чисел без остатка, арифметика остатков, решение уравнений в целых числах, решение нестандартных задач ЕГЭ на делимость. Заключение Главное назначение содержания образования состоит в том, что оно призвано служить средством и условием воспитания разносторонней и целостной личности, развитию творческого мышления учащихся и, тем самым, привить способность адекватно, свободно и


ответственно мыслить действовать в любой сфере жизни, быть мобильным в разных ситуациях. При написании данной работы были рассмотрены труды многих авторов – теоретиков и практикующих педагогов, имеющие отношение к теме исследования, были рассмотрены основные положения, связанные с производной в школьном курсе математики. Изучен и систематизирован теоретический материал, связанный с темой "Делимость целых чисел" в курсе алгебры и начал математического анализа, разработаны методические рекомендации по изучению данной темы, таком образом, была достигнута цель работы. В программах и учебниках, созданных в последние годы, недостаточно полно учитываются достижения психологов и педагогов, которые стали опираться на психологические основания развития учащихся. А, значит, материал не отвечает требованиям и целям современного образования. В процессе теоретического и экспериментального исследования поставленной научной проблемы, в соответствии с целью и задачами исследования, получены следующие основные результаты и выводы. Все вышесказанное позволяет сформулировать следующие цели использования темы «Делимость целых чисел».