Распространение тепла в неограниченном стержне. Решения уравнения теплопроводности в неограниченной области.

ВВЕДЕНИЕ

Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается математическая физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в знаменитом «Интегральном исчислении» Л. Эйлера.
Классические уравнения математической физики являются линейными. Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V – два решения, то функция U + V при любых постоянных  и  снова является решением. Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.
Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений. Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное интегрирование.
Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.
Постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. Так, например, начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный характер и требуют применения различных математических методов.
Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк. В данной работе рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными.
Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа.
1. Распространение тепла в среде. Вывод уравнения теплопроводности.

Рассмотрим некоторый малый объем среды . Каждая точка этого объема описывается тремя пространственными координатами (рис. 1).


Рисунок 1. Выделенный объем среды

Пусть температура в каждой точке объема описывается функцией (зависит от координат и времени). Каждая точка объема служит источником тепловой энергии. Будем описывать интенсивность (мощность) источников тепла функцией - т.е. каждая точка среды излучает/поглощает тепло с интенсивностью, зависящей от координат и времени.
Чтобы оценить суммарную мощность всех точек объема (иначе – полную тепловую мощность объема) в любой момент времени необходимо взять интеграл от функции по все трем координатам (всему объему):

(здесь - малый элемент объема).

Согласно первому закону термодинамики, изменение энергии системы равно количеству теплоты сообщенной системе (без совершения работы): .
Изменение энергии связано с мощностью соотношением . Отсюда . Тем самым, полное количество тепла, выделившееся в объеме за счет действия источников тепла с суммарной мощностью за промежуток времени определиться следующим образом:

(1)

Выделившееся тепло идет на нагрев объема (повышение его температуры) и на теплопередачу (обмен с теплом с внешней по отношению к объему средой).
1.1 Уравнение процесса нагрева

Уравнение для количества теплоты при нагревании/охлаждении каждой точки объема записывается следующим образом:

(2)

где - удельная теплоемкость, - масса - изменение температуры в каждой точке объема.
Данное соотношение необходимо рассмотреть для каждой точки объема, характеризующейся своей удельной теплоемкостью и массой. Примем, что удельная теплоемкость во всех точек одинакова, а вместо массы будем использовать зависимость , где - удельная плотность, также одинаковая для всех точек объема.
Теплота участвующая в процессе нагрева идет на повышение температуры каждой точки объема – т.е. происходит изменение функции :
 в начальный момент времени температура равна
 через промежуток времени температура станет равной
Приращение температур определится как . Отсюда выражение (2) запишется в следующем виде:



Соответственно для всего объема:

.

Переходя к дифференциальным величинам, предел отношения приращения температур ко времени запишем как частную производную . Отсюда и окончательно:

(3)