решение уравнений в целых числах

Введение

Мой курсовой проект посвящен одной из самых интересных областей теории чисел - решение уравнений в целых числах.
Решение алгебраических уравнений с целыми коэффициентами для нескольких неизвестных целых чисел - одна из самых сложных задач теории чисел.
Задача решения целочисленных уравнений полностью решается только для квадратных уравнений с двумя неизвестными. Отметим, что уравнения любой степени с неизвестными не представляют особого интереса, поскольку конечное число тестов может решить эту проблему. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными очень трудна не только задача нахождения всех решений в целых числах, но и более простая проблема определения существования конечного или бесконечного множества таких решений.
Объект исследования - одно из самых интересных направлений теории чисел - решение уравнений в целых числах.
Есть много математических задач, которые можно решить с помощью одного или нескольких целых чисел. Однако в большинстве случаев вы можете столкнуться с проблемами, когда вам нужно решить уравнение с целыми числами (или натуральными числами). Некоторые из этих уравнений легко решаются методом аппроксимации, но здесь возникает серьезная проблема: необходимо доказать, что других решений нет. Для этого может потребоваться широкий спектр методов, обычных и искусственных.
Тема работы – «Решение уравнений в целых числах». Эти уравнения также называются диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского. В работе представлен комплексный анализ уравнений в целых числах, классификация этих уравнений по методам их решения, описание алгоритмов их решения, а также практические примеры применения каждого метода для решения уравнений в целых числах.
Гипотеза: Не существует единого алгоритма, способного решить целочисленное диофантово уравнение за конечное число шагов. Однако, ознакомившись с типами и порядком диофантовых уравнений с помощью методов решения, вы можете успешно решать эти типы проблем.
Цель работы: Выделите основные методы решения целочисленных уравнений.
Для этого необходимо было решить следующие задачи:
1. Знание учебной и справочной литературы, анализ олимпийского материала и материала к экзаменам по математике;
2. Собрать теоретический материал для решения уравнений.
3. Проанализировать алгоритмы решения этих уравнений.
4. Рассмотреть примеры решения уравнений этими методами.
5. Создать учебные миссии.
Эта работа очень актуальна, потому что эта тема тоже включена в программу. Проблемы с решением целочисленных уравнений распространены на вступительных экзаменах и олимпиадах по математике и являются более сложными задачами.
Методы исследования:
Теоретический анализ и обобщение данных из научной литературы в виде целочисленных уравнений.
Классификация целочисленных уравнений и методы их решения.
Анализ и обобщение методов решения уравнений о целых числах.




Глава 1. Знакомство с уравнениями в целых числах и их классификация по методам решения

Интегральные уравнения - это алгебраические уравнения с как минимум двумя неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями этого уравнения являются целые наборы (иногда естественные или рациональные) неизвестных значений переменных, которые удовлетворяют этому уравнению. Эти уравнения также известны как диофантовы уравнения, названные в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который изучал некоторые типы уравнений еще до нашего времени.
Примером диофантова уравнения является уравнение
Эти уравнения называются однородными линейными уравнениями. У вас есть бесконечное количество целочисленных решений. Эти решения описываются формулами.
Современной формулировкой диофантовых проблем мы обязаны французскому математику Ферма. Он попросил европейских математиков решить неопределенные уравнения только с целыми числами. Самым известным уравнением является великая теорема Ферма: уравнение
хn + yn = zn
не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.
Теоретический интерес к целочисленным уравнениям достаточно высок, поскольку эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.
В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что не существует общего метода решения произвольных диофантовых уравнений в целых числах за конечное число шагов. Следовательно, вам необходимо выбрать собственные методы решения для разных типов уравнений.
Существует множество методов решения целочисленных и целочисленных уравнений, чаще всего используются следующие методы:
1. список опций;
2. метод, основанный на алгоритме Евклида;
3. непрерывная фракция (продолжение);
4. разгон;
5. факторизация;
6. метод, основанный на выражении одной переменной другой и на выборе целой части дроби;
7. решать полные уравнения в виде квадратов (или других) для любой переменной;
8. метод полного квадрата.















Глава 2. Линейные уравнения
2.1. Метод перебора вариантов

Вам необходимо учитывать признаки делимости чисел в методе перечисления параметров, чтобы включить все возможные варианты равенства для окончательного перечисления.
Вычислить возможность нахождения естественных решений уравнения с двумя переменными очень утомительно. Кроме того, когда уравнение содержит целые решения, их не всегда можно перечислить, поскольку таких решений может быть бесконечное количество.
Задача 1. У нескольких велосипедов 26 колес. Сколько из этих велосипедов трёхколесных и сколько двухколёсных?
Решение: составляем уравнение, в котором х – число трёхколесных, у – число двухколёсных велосипедов.
Выразим у через х
х и у – целые неотрицательные числа, значит 27 – 3х должно делиться на 2 без остатка.
Воспользуемся методом перебора:
х
у 0

Таким образом, задача имеет четыре решения.
Ответ: (2; 10), (4; 7), (6; 4), (8; 1).
Задача 2. Родительский комитет закупил на 750 руб. тетради по цене 35 руб. и ручки по цене 25 руб. Сколько было куплено тетрадей и ручек, если ручек было куплено больше, чем тетрадей, а разность между числом ручек и тетрадей наименьшая.
Решение: составляем уравнение , в котором х – число тетрадей, у – число ручек.