Предел переменной величины от древности до наших дней

В XVII в. начинается важный период истории математики - период математики переменных величин. Его возникновение связано, прежде всего, с успехами астрономии и механики. В связи с этим возникли проблемы изучения зависимостей одних величин от других, проблемы определения скоростей, ускорений, площадей криволинейных фигур, центров тяжести и т. д.
Для решения этих проблем в математике не было готового аналитического аппарата. Ученые начали искать пути изучения переменных величин в математике, используя творения античных математиков. В результате функция (термин Г. Лейбница) стала таким же основным объектом математики, как число и величина.
Первым решительным шагом в создании математики переменных величин было появление в 1637 г. книги Р. Декарта «Геометрия», в которой заложены основы метода координат и введена общая идея переменной величины.
Если сегодня мы попытаемся ответить на непростой вопрос «Что такое математика?» мы часто отвечаем таким ответом, как «Это изучение отношений на множествах», или «Это изучение функций на множествах», или «Это изучение зависимостей между переменными величинами». Если эти утверждения хоть сколько-нибудь близки к истине, тогда было бы логично предположить, что концепция функции должна возникать на самых ранних этапах развития математики. Действительно, если мы посмотрим на вавилонскую математику, мы найдем таблицы квадратов натуральных чисел, кубов натуральных чисел и обратных натуральных чисел.
Возможно, будет не слишком щедро приписывать древним вавилонянам инстинкт функциональности; поскольку функция была последовательно определена как таблица или соответствие.
Однако это, безусловно, результат того, что современные математики смотрят на древнюю математику современными глазами. Хотя мы можем видеть, что вавилоняне имели дело с функциями, они не думали в этом смысле. Поэтому мы должны отвергнуть предположение, что понятие функции присутствовало в вавилонской математике, даже если мы видим, что они изучали определенные функции.
Если мы перейдем к греческой математике, то мы дойдем до работ Птолемея. Он вычислял длины хорд круга, что, по сути, означает, что он вычислял тригонометрические функции. Конечно, можно было подумать, что если он вычислял тригонометрические функции, то Птолемей, должно быть, понял концепцию функции.
Но если мы понимаем функцию не как формулу, а как более общее отношение, связывающее элементы одного набора чисел с элементами другого набора, становится очевидным, что функций в этом смысле изобилуют во всем Альмагесте.
Действительно, Птолемей имел дело с функциями, но как пишет Х. Янке (Jahnke), маловероятно, что он имел какое-либо понимание концепции функции [15].
Понятие функции впервые появилось в более общей форме в XIV веке в школах натурфилософии в Оксфорде и Париже.
Галилей начал понимать эту концепцию еще яснее. Его исследования движения содержат ясное понимание связи между переменными. И снова другой фрагмент его математики показывает, как он начинал понимать концепцию отображения между множествами. В 1638 году он изучил проблему двух концентрических окружностей с центром OO, большей окружности AA с диаметром вдвое больше, чем у меньшей BB.
Известная формула дает длину окружности AA вдвое больше, чем BB. Но если взять любую точку PP на окружности AA, тогда PAPA разрезает окружность BB в одну точку.
Итак, Галилей построил функцию, отображающую каждую точку AA в точку BB. Аналогично, если QQ - точка на BB, то произведенный OQOQ разрезает окружность AA ровно в одной точке. И снова у него есть функция, на этот раз от точек BB до точек AA. Хотя окружность AA в два раза больше длины окружности BB, у них одинаковое количество точек. Он также произвел стандартное взаимно-однозначное соответствие между положительными целыми числами и их квадратами, которое (в современных терминах) дало взаимно однозначное соответствие между `N` и соответствующим подмножеством.
Почти одновременно с этими идеями Декарт вводил алгебру в геометрию в «Геометрии». Он говорит, что кривую можно нарисовать, позволяя линиям последовательно принимать бесконечное количество различных значений. Это снова вводит понятие функции в построение кривой, поскольку Декарт мыслит в терминах величины алгебраического выражения, принимая бесконечное количество значений, поскольку величина, из которой составлено алгебраическое выражение, принимает бесконечное количество значений.
Само слово «function» появилось у Лейбница в его записях в 1673г., а Бернулли, ученик Лейбница ввел обохначение f(x).
Позже, в Introductio in analysin infinitorum Эйлер, последователь Бернулли, ввел непрерывные, прерывистые и смешанные функции, но поскольку первые два из этих понятий имеют разные современные значения, мы будем называть версии Эйлера EE-непрерывными и EE-прерывными, чтобы избежать путаницы. EE-непрерывная функция - это функция, которая выражается одним аналитическим выражением, смешанная функция выражается двумя или более аналитическими выражениями, а EE-прерывистая функция включает смешанные функции, но является более общим понятием. Эйлер не ясно указал, что он имел в виду под EE-разрывной функцией, хотя было ясно, что Эйлер считал их более общими, чем смешанные функции. Позже он определил их как те функции, у которых были произвольно нарисованные от руки кривые в качестве их графиков (что довольно сбивает с толку, по сути, то, что мы сегодня называем непрерывной функцией).