Гиперкомплексные числа и их приложения

Введение
Успешное использование комплексных чисел поставило в начале 19 в. перед математиками вопрос о возможности построения высших комплексных чисел, изображаемых тройками, четвертками, и т.д. действительных чисел. В середине прошлого века было исследовано множество частных систем таких гиперкомплексных чисел, а в конце прошлого и начале настоящего столетия разработана теория гиперкомплексных чисел, нашедшая приложения в математике и физике. В частности, гиперкомплексные числа активно и используются в задачах квантовой механике и теории финслеровых пространств, использующейся для решения многих задач современной теоретической физики. Таким образом, разработка дальнейших приложений теории гиперкомплексных чисел в физике и других областях естествознания является актуальной задачей математических и физических наук.
Объектом данного исследования является теория чисел.
Предметом данного исследования является теория гиперкомплексных чисел.
























1 Гиперкомплексные числа: основные свойства и история открытия
1.1 Определение и основные свойства гиперкомплексных чисел
Приведем определение гиперкомплексных чисел.
Гиперкомплексные числа – конечномерные алгебры над полем вещественных чисел, т.е. числа, над которыми определена пара операций сложения и умножения, а также и операция умножения на вещественное число [1]. Таким образом, гиперкомплексное число ранга изображается совокупностью действительных чисел, которые называются координатами гиперкомплексного числа:

(1.1)

где - некоторые базисные единицы.
Гиперкомплексные числа называются равными, если равные их соответствующие координаты:

(1.2)

Введем операцию умножения гиперкомплексного числа на действительное число:

(1.3)

Далее, определим умножение гиперкомплексных чисел друг на друга, аналогично комплексным числам. Результат этого действие должен являться гиперкомплексным числом.
Умножение гиперкомплексных чисел может быть достигнуто различными путями, при этом будут получаться различные системы гиперкомплексных чисел. Поэтому, для начала выясним, в чем состоит суть операции умножения комплексных чисел. Разумеется, очень желательно, чтобы операции с гиперкомплексными числами были похожи на операции с действительными числами. Следовательно, рассмотрим основные свойства операций над числами.
1. Для любых двух чисел однозначно определена их сумма.
2. Для любых двух чисел однозначно определено их произведение.
3. Существует число нуль такое, что для любого числа справедливо следующее свойство:

(1.4)

4. Для каждого числа существует противоположное ему число , удовлетворяющее ассоциативному свойству:

(1.5)

5. Cложение чисел коммунитативно:

(1.6)

6. Cложение чисел ассоциативно, (1.5).
7. Умножение чисел коммунитативно:

(1.7)

8. Умножение чисел ассоциативно:

(1.8)

9. Умножение чисел дистрибутивно:
(1.9)

10. Для каждого гиперкомплексного числа и для каждого произведения существует единственное число , удовлетворяющее равенству (1.8).
Система величин, удовлетворяющая свойствам 1-10, называется полем.
Исходя из определения поля, перечислим основные свойства комплексных и гиперкомплексных чисел.
1. Никакие расширения не образуют поля, кроме комплексных чисел. Таким образом, расширение поля действительных чисел до гиперкомплексных чисел сопровождаются некоторыми потерями. Так, для гиперкомплексных чисел умножение не коммутативно.
2. Согласно теореме Фробениуса, единственно гиперкомплексными числами, для которых можно ввести деление без делителя нуля, являются комплексные числа, кватернионы, числа Кэли (октавы). Следовательно, нельзя создать такую числовую систему, которая, подобно кватернионам, была бы, с одной стороны телом, а с другой – конечномерным векторным пространством над полем . Тем не менее, ценой отказа от свойства 8 (ассоциативности умножения) можно получить бесконечно много неассоциативных конечномерных алгебр с делением над полем .
3. Семейство «алгебр Клиффорда задает многомерные пространства с умножением, определяемой квадратичной псевдометрикой [2].
Таким образом, гиперкомплексные числа представляют собой более широкое обобщение понятия числа, чем комплексные числа. Смысл подобного обобщения состоит в том, чтобы обычные арифметические действия над такими числами выражали некоторые геометрические процессы в многомерном пространстве, и, таким образом, могли представить количественное описание физических законов. При этом при попытке построить числа, отображающих процессы в трехмерном пространстве, подобно тому, как комплексные числа отображают процессы на плоскости, выяснилось, что в данном случае не может быть полной аналогии с комплексными числами. Это и привело к развитию системы гиперкомплексных чисел.
Ранее было дано представление гиперкомплексного числа через координаты многомерного пространства (1.1). Для того, чтобы использовать гиперкомплексные числа, необходимо установить арифметические операции над ними. Выше были установлены операции сложения (вычитания) и умножения на число гиперкомплексных чисел, которые определяются однозначно. Однако, при установлении операции умножения над гиперкомплексными числами необходимо установить значение произведений . Задача состоит в том, чтобы значения указанные произведения оставляли в силе обычные арифметические операции. Согласно свойству 2, единственная система гиперкомплексных чисел, которая удовлетворяет этому требованию – это система комплексных чисел. При установлении любой другой системы гиперкомплексных чисел необходимо отказаться от того или иного арифметического правила. Обычно к таким правилам относятся однозначность результатов деления, коммутативность умножения, а также правила, согласно которому обращения в нуль произведения влечет за собой обращения в нуль по крайней мере одного из сомножителей. Одна из важнейших систем гиперкомплексных чисел – кватернионы, получаются при отказе от коммутативности умножения при сохранении всех остальных свойств [3].






















2 Кватернионы и алгебра Кэли
2.1 Кватернионы
Выше кватернионы были определены как гиперкомплексные числа, образующая векторное пространство размерностью над полем вещественных чисел.
Кватернионы эффективны в задачах, связанных с изометрией трех и четырех мерного евклидового пространства, поэтому применяются в механике. Также кватернионы используются в компьютерной графике.
Итак, кватернион является расширением множества комплексных чисел, и задается следующим выражением:

(2.1)

где числа определены соотношениями (1.10).
Кватернион также можно записать в следующей форме:

(2.2)

где - скаляр, а - трехмерный вектор.
Исходя из свойств (1.10), определим таблицу умножения кватернионов:

(2.3)

Таким образом, кватернион представляет собой пару , где - вещественное число; - вектор трехмерного пространства. Вещественное число можно также интерпретировать как время, что важно для специальной теории относительности.
Операция сложения кватернионов определяется аналогично (1.1):

(2.2)

Определим произведение кватернионов чисел:

(2.3)

где знак обозначает векторное произведение.
Например,

(2.4)

Важно отметить, что алгебраические операции над кватернионами обладают дистрибутивностью;
Антикоммутативность векторного произведения влечет за собой некоммутативность произведение кватернионов.
Представим произвольный кватернион как пару комплексных чисел:

(2.5)

что эквивалентно

(2.6)

Также кватернионы можно представить через обычные вещественные матрицы с обычными правилами сложения и умножения матриц:

(2.7)

Из такой записи следует:
сопряженному кватерниону соответствует транспонированная матрица ;
четвертая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей ему матрицы,
Существует альтернативное определение кватернионов через комплексные матрицы с обычными правилами матричными произведениями и суммой:

(2.8)

где - комплексно-сопряженные числа.























3 Приложение гиперкомплексных чисел
3.1 Применение кватернионов в теоретической физики
Рассмотрим применение кватернионов релятивисткой физике [8-9].
Группа - преобразования единиц допускает наличие мнимых параметров. При этом повороты становятся гиперболическими. Так, обычное вращение Осуществляется матрицей

(3.1)

В данном случае уместно воспользоваться определением бикватернионных веторов . Определим -вектор как -вектор с комплексными компонентами

. (3.2)

Для векторов такого типа не всегда можно определить норму или модуль. Но, тем не менее, всегда можно определить подмножество -векторов с определяемой нормой

(3.3)

Данные векторы являются форм-инвариантными относительно преобразований подгруппы , в том числе и относительно простых вращений , но при условии, что взаимно-мнимые компоненты ортогональны друг другу: .
Указанный подход позволяет предположить существование пространственно-временного -векторного интервала

(3.4)

обладающего следующими свойствами:
- интервал времени задается мнимым вектором;
- пространство-время данной модели является шестимерным;
- вектор перемещения частиц и вектор изменения Во времени должны быть ортогональных друг другу, т,е. .
При этом -вектор интервал есть инвариант в точности повторяющий интервал пространства-времени в специальной теории относительности Эйнштейна. Построенная таким образом -модель получила название кватернионной теории относительности.
Стоит отметить симметрию временной и пространственной составляющих в кватернионной теории относительности. Связанные с ним триада единиц описывает релятивистскую систему отсчета

(3.5)

Переход от одной системы отсчета к другой осуществляется уравнений перехода

(3.6)

где - матрица вращения, принадлежащая , и представляющая собой упорядоченное произведение матриц действительных и гиперболических поворотов.
Запишем первую строку уравнения (3.6) в явном виде:

(3.7)

Но, поскольку в теории относительности , то (3.7) приобретает следующий вид:

(3.8)

т.е. движение системы отсчета относительно с скоростью вдоль направления . Таким образом, из следуют все группы преобразования Лоренца, следовательно, и кинематические эффекты специальной теории относительности.

3.2 Применение октонионов в теории струн и физике элементарных частиц
Несмотря на то, что октонионы долго не находили применения в физике, в последнее время они используются в теории поля, в частности, для построения теории великого объединения, и теории суперструн. Так, октонионы показывают, сколько необходимо пространственно-временных измерений для построения суперсимметричной квантовой теории поля. Как было упомянуто выше, октонионы связаны с исключительными группами Ли, которые через группу используются для построения суперструнных теорий.
Впервые интерес к физическому приложению октонионов возник в связи с проблемой классификации элементарных частиц [12], после введения понятия странности. В некоторых работах для объяснения спектра элементарных частиц использовались октонионы [13-17]. Но вскоре, после открытия адронных мультиплетов, эти работы утратили актуальность.
Интерес к октонионам возобновился в 70-х годах прошлого века, после выхода работ [18-19], в которых предлагался октонионных формализм для цветных кварков с точной цветовой симметрией и бесцветных адронных состояний. Для описания внутренней степеней свободы адронов использовалось одночастичное представление группы Пуанкаре в гильбертовом пространстве с октонионными компонентами [20-22]. В указанных работах было показано, что октонионное гильбертово пространство эффективно описывает конфаймент (пленение) кварков, так как не все элементы этого пространства соотносятся с наблюдаемыми физическими состояниями [23-24].
В начале 80-х годов прошлого века возродилась теория Калуцы [25-26] о том, что пространство-время может иметь более 4-х измерений. Современные варианты этого подхода постулируют равноправность дополнительных измерений с наблюдаемыми 4-мя физическими измерениями [27-29], явные различия между которыми интерпретируются как спонтанное нарушение симметрии вакуума или спонтанная компактификация дополнительных измерений.
Заключение
Гиперкомплексные числа, открытые в позапрошлом веке, в настоящее время находят все больше практических приложения для решения различных задач теоретической физики и программирования.
Первыми из гиперкомплексных чисел были открыты кватернионы, как система гиперкомплексных чисел, образующая 4-х мерное векторное пространство над полем вещественных чисел.
Отличительной характеристикой алгебры кватернионов является ее некоммутативность и неассоциативность относительно умножения. Кватеорнионы отражают свойства 3-х мерного евклидового пространства. Поэтому их использования особенно эффективно при решении задач о вращении твердого тела.
Некоммутативность кватернионов относительно умножения приводит к интересным следствиям. Так, число корней полиномиального уравнения может значительно превышать степень полинома.