Решение задач на максимум и минимум в геометрии

Введение
Экстремальные задачи всегда привлекали внимания самых выдающихся ученых. Некоторые экстремальные задачи сформировали целые направления в математике. Более того, задачи на максимум и минимум имеют прикладной характер, и постоянно возникают в инженерной практике, архитектуре, экономике и других науках. В процессе обучения математике геометрические задачи на максимум и минимум являются одними из самых сложных задач школьного курса геометрии. Теоретические положения и приемы решения таких задач требуют не только владения базовыми знаниями, но и развитого воображения и умение из отдельных блоков решения построить логическую модель решения. Таким образом, для успешного усвоения указанной темы учащиеся должны обладать определенной свободой мышления. При этом, далеко не всегда преподаватель в условиях школьного обучения может сформировать подобное свободное мышления у учащихся. Поэтому, разработка новых методов обучения геометрии является актуальной задачей как математических, так и педагогических наук.
Объектом данного исследования являются вариационное исчисление.
Предметом данного исследования являются экстремальные геометрические задачи.
Целью данного исследования является нахождение эффективного решения геометрических задач на максимум и минимум.
Для того, чтобы достичь поставленной цели, необходимо решить следующие задачи:
- сделать обзор математической литературы по изучению методов решения экстремальных задач;
- провести классификацию задач на максимум и минимум;
- описать основные этапы решения задач на максимум и минимум;
- проанализировать учебных материал школьных учебников по геометрии;
- на основе ранее составленной классификации задач на максимум и минимум составить комплект задач по обозначенной теме.
Степень разработанности. Методика преподавания геометрии неоднократно обсуждалась в научной и педагогической литературе, а также на многочисленных симпозиумах и конференциях, посвященных методики преподавания геометрии в средней общеобразовательной школе. Тем не менее, основная сложность в разработке эффективных методов преподавания геометрии заключается в том, что не существует универсальных методов решения геометрических задач. Каждая задача требует индивидуального подхода. Более того, среди педагогов продолжаются дискуссии об оптимальной структуре учебного материала. Например, следует ли совершить при подаче нового учебного материала краткий экскурс в историю или необходимо сразу начать с основных определений.
В своем исследовании автор опирался преимущественно на работы отечественных ученых.
Теоретическая и практическая значимость. Данное исследование имеет преимущественно теоретическую направленность и не содержит принципиально новых результатов. Тем не менее, его результаты могут быть использованы для разработок новых методов преподавания геометрии.
Теоретико-методологическая направленность работы состоит в разработке новых эффективных методов решения геометрических задач.
Результаты данной работы могут быть использованы для дальнейших разработок эффективных методик преподавания геометрии в средней общеобразовательной школе.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
В первой главе делается литературный обзор по обозначенной теме, производится классификация задач по нахождению максимума и минимума и выделению основных этапов решения указанных задач.
Во второй главе анализируется учебный материал в современных учебниках по геометрии для средней школы и, на основе ранее проведенного исследования, создается комплект типовых геометрических задач на максимум и минимум.


























1 Теоретические основы решения экстремальных задач в геометрии
1.1 Литературный обзор
В настоящее время существует обширная литература по методам решения геометрических задач по нахождению экстремумов.
Прежде всего, следует отметить монографию Протасова В.Ю. «Максимумы и минимумы в геометрии» [1], в которой читатель может ознакомиться с такими классическими задачами на максимум и минимум, как задача Фаньяно, задача Штейнера о нахождении кратчайшей системы дорог, задача о построении фигуры максимальной площади с указанным периметром, и многими другими. В книге не только излагаются решения указанных задач, но и особое внимание уделяется проблеме доказательства существования решения в экстремальных задачах. В конце раздела приведены задачи для самостоятельного решения.
В работе Тихомирова В.М. «Рассказы о максимумах и минимумах» [2] излагается история методов нахождения наибольших и наименьших величин. Подробно рассматриваются решения задач, поставленных выдающимися математиками прошлых эпох – Евклидом, Архимедом, Героном, Тарталье, Ферма, Кеплером, Бернулли, Ньютоном и др. В книге рассказывается история зарождения многих математических идей, являющихся основой математического анализа. Показана связь экстремальных задач с естественнонаучными проблемами, техники и экономики. Кроме того, автор знакомит читателя с основными принципами современной теории экстремальных задач, и тем, как они используются при решении алгебраических, геометрических задач и задач математического анализа.
Определенный интерес представляет сборник задач на максимум и минимум Шклярского Д.О., Ченцова Н.Н., Яглом И.М. [3], которая содержит множество задач с подробным решением. Практически все задачи посвящены оценке и нахождению геометрических величин, преимущественно треугольников и тетраэдров. Многие из представленных задач заимствованы из научных работ, но ни одна из них не требует знаний, выходящих за пределы школьной программы. К каждой задаче приводится подробное решение, которым можно руководствоваться при самостоятельном решении. Многие задачи сборника предлагались на московских математичнских олимпиадах.
Для тех, кто не владеет специальной математической подготовкой, будет интересна книга авторов Радемахер Г., Теплиц О. «Числа и фигуры. Опыт математического мышления» [4]. Данная книга может служить образцом блестящего и доступного изложения результатов математических исследований. Ее особая ценность заключается в том, что она демонстрирует конкретное применение математических методов.
Математически более подготовленному читателю будет полезно ознакомиться с книгой Алексеева В.М., Тихомирова В.М., Фомина С.В. «Оптимальное управление» [5], написанной на основе лекционного курса «Оптимальное управление», преподаваемого на механико-математическом факультете МГУ. Книга состоит из трех разделов: 1. элементарный вывод основных условий экстремума и решения конкретных задач; 2. применение теорем дифференциального исчисления в банаховых пространствах для доказательства необходимых условий экстремума; 3. дополнительные вопросы к теории экстремальных задач. Отличительной особенностью книги является единый подход к задачам разного типа.
В учебной математической литературе очень мало книг, посвященных отысканию набольших и наименьших значений переменной величины. Этот пробел удачно восполняет монография Зетель С.И. «Задачи на максимум и минимум» [6]. Практически все представленные задачи связаны с нахождением наибольших и наименьших значений какой-либо величины.