Геометрические места точек на плоскости и методы их нахождения

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность. Задачи на отыскание геометрического места точек, обладающих заданным свойством, являются весьма существенным звеном при изучении курса геометрии. В средней школе, как правило, изучаются только наиболее важные, так называемые основные задачи на геометрические места точек. Эти немногочисленные задачи рассматриваются обычно в связи с применением их к задачам на построение, т. е. с чисто служебными целями. Огромная ценность решения задач на построение не вызывает никаких сомнений; однако следует иметь в виду, что и задачи на отыскание геометрического места точек с а м и по себе являются задачами, имеющими большое образовательное и воспитательное значение.
Возможными причинами недостаточного внимания в школе к этим задачам могут быть:
1) отсутствие систематизированного подбора достаточно большого числа задач на геометрические места по отдельным годам обучения;
2) отсутствие соответствующей методической литературы.
Цель работы: Составить комплект задач с решениями разных типов на нахождение геометрических мест точек.
Задачи:
 Проанализировать учебно-математическую литературу по теме исследования для определения понятия — «геометрические места точек», определения методов нахождения геометрических мест точек.
 Проанализировать основные методы нахождения геометрических мест точек на плоскости (что является достоинством, что является недостатком того или иного метода).
 Выделить типы задач, при решении которых целесообразно использовать геометрические места точек.
 На основе выделенных типов задач составить сборник(комплект) и решить его.
Предмет исследования — геометрическое место точек на плоскости.
Объект: задачи на нахождение геометрического места точек.
Курсовая работа состоит из введения, шести пунктов, заключения и списка используемой литературы.

























1 Определение понятия «геометрическое место точек», схема решения задачи на нахождение геометрического места точек
Геометрическим местом точек (ГМТ) называется фигура, состоящая из всех точек, обладающих некоторым свойством, и не содержащая других точек.
В соответствии с определением фигура, являющаяся геометрическим местом точек, состоит только из точек, обладающих некоторым свойством. Отсюда следует, что точки, не принадлежащие фигуре, не являются точками геометрического места, т. е. заданным свойством не обладают, так как в противном случае они принадлежали бы фигуре. В связи с этим, для обоснования решения необходимо доказать две теоремы: либо 1) прямую и ей обратную, либо 2) прямую и противоположную прямой или обратной.
1) Прямая теорем а. Точка М обладает некоторым свойством. Доказать, что она принадлежит фигуре Р.
Обратная теорема. Взята произвольная точка на фигуре Р. Доказать, что она обладает заданным свойством.
2) Прямая теорема. Точка М обладает некоторым свойством. Доказать, что она принадлежит фигуре Р.
Противоположная теорема. Точка N не обладает некоторым свойством. Доказать, что она не принадлежит фигуре Р.
Теорема, противоположная обратной. Точка N не принадлежит фигуре Р. Доказать, что она не обладает заданным свойством.
Указанные пары теорем могут взаимно заменить друг друга. При обосновании решения рекомендуется пользоваться той парой теорем, которая проще доказывается. Не следует давать одновременно понятие о взаимозаменяемости теорем обратной и противоположной при отыскании геометрического места точек, так как в начальной стадии это может усложнить понимание геометрического места точек.
Общий план решения задач на отыскание геометрического места точек следующий:
1. Построение ряда отдельных точек искомого геометрического места на основе условия.
2. Построение рабочего чертежа, удобного для обоснования задачи.
3. Обоснование решения (установление закономерности в расположении точек).
4. Уточнение вида. фигуры, найденной в п. З.
5. Исследование решения задачи в зависимости от изменения данных.
6. Указание простейшего способа построения найденного геометрического места точек.
Указанные шесть пунктов следует иметь в виду при решении каждой задачи на отыскание геометрического места точек. Однако отсюда не следует делать такой вывод, что все указанные пункты необходимо применять ко всем задачам. Предварительный чертеж (1) с нанесением большого числа точек геометрического места не является обязательным для решения всех задач. Его следует делать только в том случае: а) когда условие задачи дает простой способ построения отдельных точек геометрического места, б) когда встречаются затруднения при составлении плана решения задачи и в представлении искомой фигуры. Этот чертеж используется для иллюстрации постоянных и переменных величин и для истолкования геометрического места точек как следа от перемещения точки на плоскости.
Под рабочим чертежом будем понимать такой чертеж, на котором произведено наименьшее число построений, необходимых для обоснования задачи. Рабочий чертеж является обязательным для всех задач, где предварительный чертеж (1) не удобен для обоснования решения задачи. В трудных задачах чертеж (1) часто дает ключ к построению рабочего чертежа (2). Необходимость чертежа (2) диктуется теми соображениями, что для обоснования часто требуется сделать довольно много добавочных построений и чертеж (1) может оказаться очень громоздким и неудобным для доказательства.
Пункт З является центральным и обязательным для каждой задачи. Здесь требуется установить, где расположены точки искомого геометрического места точек (на прямой, на окружности, на плоскости и т. д), и сделать соответствующее обоснование. Причем рекомендуется доказывать две теоремы: прямую и обратную или прямую и противоположную. В п. 4 требуется уточнить, все ли точки найденной в п. 3 фигуры принадлежат искомому геометрическому месту. Этот пункт очень ответственный, так как в нем устанавливается окончательно фигура, являющаяся искомым геометрическим местом точек. Здесь могут получиться разнообразные ответы.
В п. 5 производится исследование того, как влияет изменение данных условия на расположение геометрического места точек; здесь устанавливается, при каких условиях задача имеет несколько решений, одно решение, не имеет решений и т. д.
Пункт 6 является завершающим. После решения и исследования задачи должен быть указан наиболее короткий способ построения найденной фигуры.
В итоге можно сказать следующее. Обязательными для каждой задачи являются один из пунктов (1) или (2), пункты (З) и (6). Пункты (4) и (5) применяются в тех задачах, в которых это является необходимым и интересным.










2 Основные геометрические места точек на плоскости
Основные геометрические места точек на плоскости:
1. Геометрическое место точек, равноудаленных на расстояние R от заданной точки О, — это окружность с центром в точке О и радиусом R.
2. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух точек А и В, — перпендикуляр к отрезку АВ, проходящий через его середину.
3. Геометрическое место точек, удаленных от заданной прямой на расстояние һ, — пара прямых, параллельных данной прямой и находящихся от нее на расстоянии h.
4. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — биссектрисы углов, образованных этими прямыми (рисунок 1).
5. Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, — дуги двух окружностей одинакового радиуса, у которых этот отрезок является хордой