Меры на метрических пространствах

Введение
Теория вероятности и теория меры тесно взаимосвязана. Согласно аксиоматике Колмогорова А.Н., теория вероятностей хорошо вкладывается в теорию меры и отличается от нее только спецификой терминологии и изучаемых проблем. К сожалению, данная связь редко выявляется при решении практических задач. Рассмотрение понятия меры обычно начинается с меры плоских множеств, после чего и вводится определение меры и рассмотрение свойств меры, заданной на кольце. Поэтому, изложение теории меры в тесной связи с теорией вероятностей является актуальной задачей математической науки.

1 Основные определения
Определение 1. Внешней мерой множества называется число

(1.1)

где - произвольная конечная или счетная система прямоугольников (возможно пересекающихся), покрывающая [1-2].


Рис. 1. Покрытие множества прямоугольниками [1].

Следствие: из определения внешней меры сразу же вытекает, что

(1.2)

для всякого элементарного множества .
Действительно, поскольку

(1.3)

Тогда, с учетом монотонности меры элементарных множеств, infimum достигается на этой системе прямоугольников.
Определение 2. Пусть – некоторое множество, а функция , где , принимает действительные значения и удовлетворяет следующим условиям – аксиомам метрики [3-5]:
а) для любых значение неотрицательно и в том и только том случае, когда ;
б) для любых выполняется равенство ;
в) для любых выполняется неравенство треугольника:

(1.4)

В этом случае пара образует метрическое пространство, а функция называется метрикой или расстоянием. Неравенство (1.4) – неравенство треугольника является одним из ключевых свойств метрического пространства. Оно означает, что длина одной стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон.

2 Доказательства некоторых утверждений о свойствах меры на метрических пространствах
Теорема 1. Каждая вполне конечная мера на метрическом пространстве регулярна.
Доказательство. Если - любое -регулярное множество, то для любого произвольного числа можно найти такие открытое множества и замкнутое множество , что . Также, если данное утверждение справедливо для произвольного , то является -регулярным множеством.
Пусть обозначает класс всех -регулярных борелевских множеством. Множества и принадлежат , поскольку они открыты и замкнуты одновременно. Докажем, что замкнуто относительно образований дополнений.
Пусть и . Также существуют открытое и замкнутое множества и , такие, что . Тогда, как и является замкнутым множеством, а открытым множеством. Отсюда следует, что .
Покажем, что замкнуто относительно счетного объединения. Пусть ,… , и произвольно. Тогда, существуют открытое множество и замкнутое множество , такие, что и Пусть и . Поскольку является мерой, то мы можем выбрать cтоль большим, чтобы . Пусть . Тогда является открытым множеством, а замкнутым. При этом и

(2.1)


















Заключение
Понятие метрического пространства тесно связано с теорией множеств. Первое определение метрического пространства, которое сохранилось до настоящего времени, было дано в 1906 г. французским математиком Морисом Фреше в его работе «О некоторых положениях функционального исчисления». Сам термин метрического пространства впервые использовал Ф. Хаусдорф в «Теории множеств».
Теория метрических пространств яркий пример того, как, на первый взгляд, довольно простые математические понятия, например расстояние или метрика способны привести к очень оригинальным и неожиданным результатом.
К подобным результатам можно отнести теорему о пополнении, позволяющую сравнительно коротким путем перейти к теории лебеговых пространств. Также теорема Бэра о категориях позволяет обосновать существование на отрезке непрерывной функции, которая, тем не менее, не имеет производных ни в одной точке.