Любая из 21 темы на выбор. + практическая часть

Введение
Отдельные виды фрактальных множеств были открыты и описаны еще в начале 20-го века, но теория получила свое развитие после 1975г., когда появились первые публикации на эту тему. Сначала фрактальные множества были исключительно математическими абстракциями, и только лишь с развитием вычислительной техники появилась возможность их простой визуализации, а с развитием индустрии компьютерных игр фракталы находят всё большее применение.
Это происходит из-за того, что фрактальные структуры постоянно встречаются в природе, и человеческий мозг уже привык воспринимать эти структуры целостными, идеальными, ассоциировать их с чем-то, имеющим биологическую основу и природу.
Достаточно хорошая проработка теории позволила применить её на практике, и сегодня ни один алгоритм визуализации, будь то цифровой мультфильм или компьютерная игра, не обходится без фракталов, поскольку для небольших чисел повторений фрактального рисунка это делается быстро, а оптимизация этого процесса уже реализована аппаратно.
Таким образом фрактальные множества интересны и сами по себе, в качестве математических абстракций, так и имеют важное практическое приложение, постоянно используемое в повседневной жизни.



Глава 1. Понятие фрактала.
1.1. Появление фракталов.
Перед освещением истории происхождения фракталов затронем немного искусство и рассмотрим несколько важных моментов из теории создания изображений. Одним из самых выигрышных вариантов соотношения частей на изображении является пропорция, которую в разные времена называли «золотое сечение», или «божественное сечение». Этот вид разделения целого на части подразумевает, что размеры малой части относятся к целому так же, как большая часть относится к целому.
Внутренняя красота изображений и сооружений, построенных на основе золотого сечения, до сих пор не была объяснена, но это не мешает уже тысячелетиями использовать тот факт, что при применении этого отношения между составными частями в произведениях удается добиться визуальной гармонии.
Есть несколько способов вывести численное значение отношения, называемого «золотым сечением» [5]. Обозначается константа греческой буквой Φ (читается «фи»). Поскольку представление этой постоянной величины не является целью настоящей работы, а лишь инструментом для демонстрации происхождения фракталов, не будем приводить вывод этой константы, приведем готовые формулы:
, (1.1)
, (1.2)
(1.3)
Все эти выражения бесконечны, но в пределе сходятся к одному и тому же значению. У формул (1.2) и (1.3) при этом есть нечто общее – если мы возьмем некоторую концевую часть выражения, которое можно продолжать до бесконечности, то какую бы часть мы ни взяли она будет идентична исходному выражению. Это проделанное упражнение приводит нас в мир фракталов.
Впервые теория фрактальной математики была опубликована в 1975г. Бенуа Мандельбротом в статье «Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность». В статье автор ввел понятия «фрактальный объект» и «фрактал», пояснив, что происхождение терминов исходит от латинского слова fractus, что значит «разбитый, раздробленный, дробный».
Все классические геометрические объекты имеют целочисленную размерность, 0 – точка, 1 – прямая, 2 – плоскость, 3 – пространство. Фракталы же имеют дробную размерность.
В связи с нецелой размерностью фракталы не имеют обычным способом вычисляемых. объема и площади. Например, фрактал размерностью из интервала от 1 до 2 не является поверхностью, ограниченной кривой, и в то же время не является двумерной плоскостью.
Если фрактальная размерность лежит между 0 и 1, то получается бесконечное множество точек на линии, которые не образуют линию.
При любой размерности фракталы обладают самоподобием – тем свойством, что было описано во вступлении к этой главе. То есть фрактал будет сохранять одну и ту же форму при изменении размера.
Рассмотрим некоторые параметры фрактальных множеств на примере Кривой Коха – одного из самых ранних описанных фракталов. Этот фрактальный объект был описан в 1906г. Х. Кохом, шведским математиком.
Возьмем равносторонний треугольник, каждую сторону разделим на три равных отрезка, затем удалим центральную часть и вместо нее построим треугольник со сторонами, равными удаленному отрезку, обращенный наружу (Рис. 1).
Будем повторять этот процесс раз за разом, в результате получатся отрезки настолько малого размера, что это сложно будет визуализировать и начертить. Но чисто алгебраически процесс может продолжаться до бесконечности (Рис. 2).

Рис. 1. Кривая Коха (Снежинка Коха) – первая итерация.


Рис. 2. Снежинка Коха – первые пять итераций.
Для «Снежинки Коха» можно посчитать периметр и площадь. Начнем с периметра. При каждом шаге алгоритма каждый отрезок из трех частей заменяется на ломаную из четырех частей, длина возрастает от 3 до 4, или умножается на 4/3 (Рис. 3)

Рис. 3. Трансформация участка кривой Коха.

Если периметр первоначального треугольника был равен L, то после n итераций он будет равен
. (1.4)
Так как 4/3 > 1, то последовательность Ln будет бесконечно возрастающей. То есть длина кривой Коха стремится к бесконечности с ростом n, или иными словами эту кривую можно удлинять бесконечно.
Рассмотрим, как изменяется площадь, ограниченная кривой Коха.
Пусть исходный треугольник имеет площадь S=1 (Рис.4).

Рис. 4. Исходный треугольник, S=1
Разобьем этот треугольник на 9 частей, разбив каждую из сторон на три равные отрезка. Сделаем первую итерацию алгоритма и добавим еще три треугольника, площадь каждого из них составляет 1/9S, а площадь всех добавленных треугольников составит 3/9S = 1/3S (Рис. 5):
S1 = 1 + 1/3 = 4/3


Рис. 5. Разбиение исходного треугольника и фигура с добавленными треугольниками Т2 после первой итерации, S=4/3

Сделаем еще одну итерацию алгоритма и вокруг каждого треугольника T2 добавим четыре еще более маленьких треугольника T3. Площадь добавленных треугольников Т3 составляет 4/9 площади трех треугольников Т2, равной 1/3 исходной площади А1. То есть была добавлена площадь (Рис. 6).

Рис. 6. Второй шаг алгоритма, добавлены треугольники Т3.
Рассуждая аналогичным образом придем к заключению, что на каждой итерации добавляется 4/9 от площади, добавленной на предыдущей итерации, получится следующее выражение:

Преобразуем выражением, вынесем 1/3 за скобку, а к выражению в скобках применим формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

Таким образом в предельном случае получится кривая бесконечной длины, ограничивающая площадь в 1,6 раза больше площади исходного треугольника.