Логарифм и его свойства в школьном курсе математики

ВВЕДЕНИЕ
Одной из тем в курсе математики в средней школе является тема «Показательной и логарифмической функции». Тема является укоренившейся в курсе алгебры средней школы, но очень непросто дается учащимся из-за подачи многообразия материала. Изучение логарифмических функций, согласно федеральным государственным образовательным стандартом, включено в школьный курс математики, однако, форма предоставления материала значительно отличается от учебников более старшего поколения, в сторону меньшей детализации. Заметно снижена роль и уровень требований к логарифмическим преобразованиям выражений и вычислениям.
Экзамен в форме ЕГЭ по математике содержит задания на различные темы школьного курса, и одна из таких тем – это «Логарифмы». Она изучается в курсе «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов. Но следует заметить, что тема «Логарифмы» вызывает у учащихся трудности при изучении. Кроме того, задания по данной теме содержатся как в базовом, так и в профильном уровнях экзамена, а в последнем в обеих частях. Это 5 говорит о том, что задания высокого уровня сложности по теме «Логарифмы» требуют от учащихся глубоких знаний данной темы и владение практическими навыками их решения. Отсюда следует актуальность темы исследования.
В школьном курсе «Алгебра и начала анализа» учащиеся систематически изучают показательную и логарифмическую функции и их свойства, тождественные преобразования логарифмических и показательных выражений и их применение к решению соответствующих уравнений и неравенств, знакомятся с основными понятиями, утверждениями.
По теме «Логарифмическая функция» в программу входит рассмотрение и изучение следующих вопросов: Логарифм числа. Основные свойства логарифмов. Логарифмическая функция, её свойства и график. Решение логарифмических уравнений и неравенств. Число e и натуральный логарифм.
Основная цель раздела изучения показательной и логарифмической функции состоит в ознакомлении учащихся с показательной, логарифмической и степенной функцией и в том, чтобы научить их решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
Целью исследования является рассмотрение различных подходов к свойствам логарифма в школьном курсе математики.
Объектом исследования является процесс обучения математики в средней школе.
Предметом исследования являются подходы к изучению логарифмической функции на уроках математики.
Основные задачи исследования:
1. Раскрыть историю открытия логарифма;
2. Проанализировать различные подходы к изучению логарифмической функции;
3. Рассмотреть особенности изучения логарифмической функции в школьном курсе математики;
Методы исследования:
1. Теоретический анализ учебной, учебно-методической, научной литературы по теме исследования;
2. Обобщение педагогического передового опыта.
 
1. Теоретические основы изучения логарифмической функции в школьном курсе математике
1.1. Понятие логарифма
При решении показательных уравнений удается представить обе части уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями и рациональными показателями. Так, например, при решении уравнения мы заменяем степенью и из равенства степеней с одинаковыми основаниями делаем вывод о равенстве показателей: х = −5/6. Однако, чтобы решить, казалось бы, более простое уравнение 2х = 3, стандартных знаний оказывается недостаточно.
Дело в том, что число 3 нельзя представить в виде степени с основанием 2 и рациональным показателем.
Действительно, если бы равенство, где m и n — натуральные числа, было верным, то, возведя его в степень n, мы должны были бы получить верное равенство 2m = 3n. Но последнее равенство неверно, так как левая его часть является четным числом, а правая — нечетным. Значит, не может быть верным и равенство. С другой стороны, график непрерывной функции y = 2x пересекается с прямой y = 3, и, значит, уравнение 2x = 3 имеет корень. Таким образом, перед нами стоят два вопроса: «Как записать этот корень?» и «Как его вычислить?». Показатель степени, в которую нужно возвести число a (a > 0, a ≠ 1), чтобы получить число b, называется логарифмом b по основанию a и обозначается logab[34].
Теперь мы можем записать корень уравнения 2х = 3: х = loga3 Равенства ax = b и x = logab, в которых число a положительно и не равно единице, число b положительно, а число x может быть любым, выражают одно и то же соотношение между числами a, b и x. Подставив в первое равенство выражение x из второго, получим основное логарифмическое тождество.
Понятие логарифма в методическом пособии.
Задание
Решите уравнение: а) 2x = 64; б) ; в) ; г) 4x = 0; д) 7x = −12.
После проверки ученикам предлагается ответить на вопрос, какое из заданий показалось им наиболее трудным. Вероятный ответ: 2 (в), так как в нем нужно было приводить дробь к степени числа 5. Затем школьникам предлагается высказать мнение о сравнительной с заданием 2 (в) трудности уравнения 2x = 3.
На первый взгляд кажется, что это уравнение проще, однако представить 3 в виде степени числа 2 школьникам не удается. Дальше изучение нового материала проводится в соответствии с учебником. При этом в зависимости от уровня класса рассматривается или не рассматривается дополнительный материал о невозможности представления 3 в виде 2r , где r = m/n.
После этого диалог с классом можно строить примерно так: — Как вы думаете, имеет ли уравнение 2x = 3 корень? Ответ обоснуйте. [Если построить график функции у = 2x и провести прямую у = 3, то они пересекутся в одной точке, значит, уравнение имеет один корень[22].
— Что можно сказать о корне уравнения ax = b, где а > 0 и а ≠ 1? При всех ли значениях b оно имеет корни? Затем вводится определение логарифма числа b по основанию, а и записывается основное логарифмическое тождество.
При этом выписывание равенства происходит синхронно с повторным чтением определения теперь уже в обратном, по сравнению с учебником, порядке. Теперь можно записать корень уравнения 2х = 3: х = loga3 и предложить школьникам серию самостоятельных работ.
Логарифмическая функция.
Выразим x из равенства y = logax, получим x = ay. Последнее равенство задает функцию x = ay, график которой симметричен графику показательной функции y = ax относительно прямой y = x. Показательная функция x = ay является монотонной, и, значит, разные значения y соответствуют разным значениям x, но это говорит о том, что y = logax, в свою очередь, является функцией x. Показательная функция y = ax и логарифмическая функция y = logax являются взаимно обратными. Сравнивая их графики, можно отметить некоторые основные свойства логарифмической функции. Свойства функции y = logax, a > 0, a ≠ 11: Функция y = logax определена и непрерывна на множестве положительных чисел. Область значений функции y = logax — множество действительных чисел. При 0 < a < 1 функция y = logax является убывающей; при a > 1 функция y = logax является возрастающей.
График функции y = logax проходит через точку (1; 0). Ось ординат — вертикальная асимптота графика функции y = loga.
Существует много разных определений логарифма, но большинство учебников почему-то используют самые сложные и неудачные из них.
Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень.
А теперь — собственно, определение логарифма:
Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число x.
Обозначение: loga x = b, где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.
Например, 23 = 8 ⇒ log2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 23 = 8). С тем же успехом log2 64 = 6, поскольку 26 = 64.
Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:
21 22 23 24 25 26
2 4 8 16 32 64
log2 2 = 1 log2 4 = 2 log2 8 = 3 log2 16 = 4 log2 32 = 5 log2 64 = 6
К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке [2; 3]. Потому что 22 < 5 < 23, а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Если взять калькулятор и посчитать, чему равны такие логарифмы, то получатся очень длинные числа.
log2 5 = 2,32192809...
log3 8 = 1,89278926...
log5 100 = 2,86135311...
Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log2 5, log3 8, log5 100.
Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент[8].